Theorem 円分多項式 $\phi_n$ は $\Q[X]$ で既約である。 proof $\mu_n$ の生成元 $\zeta$ をとる。 $(p,n)=1$ なる素数 $p$ をとると、 $\zeta^p$ も原始根である。 $\phi_n = P_\min(\zeta,\Q)\cdot g,\ g \in \Z[X]$ と書ける。 $P = P_\min(\zeta,\Q)$ …

Def (原始多項式) 素元分解整域 $R$ の元を係数とする多項式の係数の最大公約元が単元である時、原始多項式と呼ぶ${}_\square$ Lemma (Gauss) $R$: 素元分解整域とする。 $R[X]$ において原始多項式の積は原始多項式である${}_\square$ *1 Lemma $R$: 素元分…

$K$: 体とし、 $(n,\mathrm{char}(K)) = 1$ とし $P_n = X^n - 1$ と置く。 $P_n$ は重根を持たない。というのも仮定より $P_n^\prime = n X^{n-1} \neq 0$ であるので、 $(P_n,P_n^\prime) = 1$ となるためである。 よって $P_n$ は厳密にn個の根を $\bar{K…

以下は「体とガロア理論」§3.2 例3.15と本質的に同じである。 Prop $\mathbb{F}_p \subset \mathbb{F}_{p^2} \subset \cdots \subset \mathbb{F}_{p^{2^n}} \subset \cdots$ という拡大体の列を考え、 $L = \bigcup_{n} \mathbb{F}_{p^{2^n}}$ と置く。 この…

Galois理論(48)―ガロア対応補足 - らんだむな記憶で、無限次拡大の場合にはガロア対応の全単射性が崩れるというRemarkを残していた。これを見ていこう。Galois理論(52)―有限体の場合のガロア群の計算例 - らんだむな記憶では、有限体の有限次拡大の場合を見…

飽きたらやめようGalois理論(10)―有限体 - らんだむな記憶を思い出すと、有限体はその素体 $K = \mathbb{F}_p$ に対して、 $L = \mathbb{F}_{p^n}$ と同型となるのであった。 飽きたらやめようGalois理論(21)―完全体 - らんだむな記憶と飽きたらやめようGalo…

Galois理論(50)―方程式のガロア群と判別式 - らんだむな記憶で大分抽象的に解析が進んだので具体例を見てみよう。$K=\Q$ とし、その上の3次の分離既約多項式を $P(X)=X^3-2$ とする。 $\omega = \exp(2\pi i/3)$ と置くとき、 $P$ の根は $\sqrt[3]{2},\sqrt…

Galois理論(49)―ガロア群の計算例 - らんだむな記憶の例2を振り返る。 定義を1つ。 Def (方程式のガロア群) $P \in K[X]$: 分離既約多項式とする。$M $: $P$ の分解体とする。この時、 $M/K$ はガロア拡大であり、 \begin{equation} \mathrm{Gal}(P) \overse…

例1 標数0の体或は、標数が2ではない有限体の代数拡大体を考える。 $[L:K] = 2$ とする。Galois理論(46)―正規拡大補足(2)と少し整理 - らんだむな記憶で見たように、2次拡大の場合には正規拡大となることに注意しよう。 この時、ある $\alpha \in L\backslas…

楷書や行書はそれほどでもないかもしれないが、草書ともなると半紙によっては墨の乗り具合とか水分とかでは随分とグレーな色合いやグラデーションが現れる、ような気がする。墨と筆と半紙が織りなすマチエールなどと書くのは大袈裟であろうか。ともかくも何…

「明解ガロア理論」より。 Remark $L/K$: 有限次ガロア拡大とする。 $K \subset E \subset F \subset L$ なる体の拡大を考えるとき、飽きたらやめようGalois理論(45)―性質の連鎖と正規拡大補足(1) - らんだむな記憶でまとめた内容から、 $L/E$, $L/F$ はガロ…

Theorem (Galois の基本定理) $L/K$: 有限次ガロア拡大とする。 (1) $K \subset F \subset L$ $\overset{\text{bij}}{\rightleftarrows}$ $H \subset \mathrm{Gal}(L/K)$ (2) $F/K$: ガロア拡大 $\iff$ $g(F) = F,\ g \in \mathrm{Gal}(L/K)$ $\iff$ $\mathr…

Remark 2次拡大は正規拡大である。 $[L:K] = 2$ とする。 $P(X) = X^2+aX+b$ とする時、 $P$ の根は $\frac{1}{2}(-a \pm \sqrt{a^2 - 4b})$ などのように、片方が $L$ に含まれる場合に他方が共役な根などとして $L$ の中で求まる。これを使って、飽きたら…

体の拡大の際においしい性質が連鎖することが多い。 Prop $L/K$: 有限次拡大, $M/L$: 有限次拡大 $\iff$ $M/K$: 有限次拡大 proof ($\Rightarrow$)$L$ の $K$ 上の基底を $v_1,\cdots,v_n$ とし、$M $ の $L$ 上の基底を $w_1,\cdots,w_m $ とする。 この時…

$L/K$: ガロア拡大 $\overset{\text{def}}{\iff}$ 正規かつ分離拡大 $\iff$ $K$ 上のある分離的な既約多項式の分解体であった。更に、 $L/K$: 有限次拡大であれば、 $\#\mathrm{Aut}(L/K) = [L:K]$ という条件とも同値である(飽きたらやめようGalois理論(41)…

あー… えぇと… それはですねぇ…の「…」こと三点リーダー。 Ellipsis - Wikipedia, the free encyclopediaでは As the Japanese word for dot is pronounced "ten", the dots are colloquially called "ten-ten-ten" (てんてんてん, akin to the English "dot…

Theorem $K$: 体とする。この時、 $\bar{K}/K$ がガロア拡大 $\iff$ $K$ は完全体。 proof ($\Leftarrow$) 飽きたらやめようGalois理論(21)―完全体 - らんだむな記憶より、$\bar{K}$ は $K$ 上分離的である。また、飽きたらやめようGalois理論(40)―正規拡大 …

Def $L/K$: ガロア拡大とする。 $G = \mathrm{Gal}(L/K) := \mathrm{Aut}(L/K)$ をガロア群と呼ぶ${}_\square$ Remark Galois理論(41)―ガロア拡大 - らんだむな記憶の最後の主張を書き直すと $L^{\mathrm{Gal}(L/K)} = K$ となる。 Theorem (Artin) $L$: 体…

ガロア拡大... きたか…!! ( ﾟдﾟ) ｶﾞﾀｯ / ヾ ＿_L| /￣￣￣/＿ ＼/ / Def ガロア拡大とは正規かつ分離拡大のことを言う。 Theorem $L/K$: 有限次拡大とする。この時、以下が成立する。 $\#(\mathrm{Aut}(L/K)) \leq [L:K]$等号は、 $L$ がガロア拡大の時のみ…

意味が分からんな...。なんだコレゎ？ 現役時代に代数学が1bitも理解できなかったのも分かる気がする。いまでさえ余暇の時間を膨大に投入してこれ1本に絞ってるのに全然分からん。他の基礎教科と一緒にやってた現役時代の投入時間では無理だ。これだけに大量…

Def $L/K$ が正規拡大であるとは、 $L$ が $K[X]$ のある多項式の族の(最小)分解体になっている時を言う。 Remark $P \in K[X]$ の分解体は正規拡大である。上記の定義は幾つかの本で見られるが、以下の定理の(1)が最も共通に見られる定義のように思う。 The…

(1)大活躍の $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 。 $X^2-3 \in \Q(\sqrt{2})$ は既約なので、 $[\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):\Q] = [\Q(\sqrt{2})(\sqrt{3}):\Q(\sqrt{2})] [\Q(\sqrt{2}):\Q] = 4$ である。 $\Q(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \subset \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ である…

Theorem (Artin) $L/K$ を有限次分離拡大とする。この時、有限個の部分拡大しか存在しない${}_\square$これは「体とガロア理論」§2.11の定理2.56の強い形でもある。 $L \supset E \supset K$ をとって、テンソル積を考えると、 $\bar{K} \otimes_K L \supset…

さらに続き。 $E = \bar{K}$ ($K$ の代数的閉包) とする時、 $K \subset E = \bar{K} \subset A/m_i$ となるが、代数閉体は自明でない有限次拡大を持たないので $A/m_i = E = \bar{K}$ となる。 この時、 $A = \bar{K} \otimes_K L$ となる。更に $A_\mathrm…

飽きたらやめようGalois理論(34)―冪零根基による商環としての被約環 - らんだむな記憶の続き。引き続き、 $K \subset L,E$ を拡大とする。 $L$ を $K$ 上有限とするし、係数拡大 $A := E \otimes_K L$ を考える。 $A$ は 有限 $E$-代数である。 $A$ の極大イ…

ちょっと脇にそれて。飽きたらやめようGalois理論(33)―被約環と局所環 - らんだむな記憶の補足。$K$: 体とし、多項式 $F \in K[X]$ を考える。 $A = K[X]/(F)$ と置く。 Lemma $A$ は単項イデアル環である。 proof $A$ が体の場合には自明なイデアルのみであ…

分離性: 飽きたらやめようGalois理論(20)―分離性の同値条件 - らんだむな記憶より、 $L$ が $K$ 上分離的とは $[L:K]_{sep} := |\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})| = [L:K]$ の時であった。(根が $\bar{K}$ で完全に分離して、準同型の個数がある根から別の根への…

飽きたらやめようGalois理論(26)―有限K-代数の構造定理 - らんだむな記憶の続き。多項式 $F \in K[X]$ を既約因子に分解し、 $F(X) = P_1(X)^{k_1} \cdot\cdots\cdot P_r(X)^{k_r}$ と書くとする。 $A = K[X]/(F)$ と置く。中国の剰余定理により、 \begin{eq…

$A$-代数のテンソル積の例としてはどういったものがあるか？ ということについては、例えば C*-代数のテンソル積がある。これについては「C*-algebras and operator theory」に解説がある。あまり universal property については細かい記述はないかもしれな…

$A$-代数のテンソル積の一意性。 (1)$\varphi,\psi$の像 $\varphi(m) \psi(n), m \in M, n \in N$ は $M \otimes_A N$ を生成する。 (2)$(\varphi,\psi)$, $M \otimes_A N$ は「普遍性」を持つ。 ような $A$-代数は同型を除いて一意である。このような性質を…