Lemma
$R$: 素元分解整域とする。 $F$: $R$ の商体とする。
$f=gh,\ f,g \in R[X],\ h \in F[X]$ で、 $g$ が原始多項式であれば、 $h \in R[X]$ である${}_\square$
Prop
(1) $P_n(X) = \prod_{d|n} \phi_d(X)$
(2) $\phi_n$ の係数は $K$ の素体($p=0$: $\Q$, $p>0$: $\mathbb{F}_p$)の元である。
(3) $p=0$ の時、 $\phi_n \in \Z[X]$ であり、 $p>0$ の時、 $\phi_n \in \Z[X]$ を $\mod p$ したものである。
proof
(1) $\alpha \in \mu_n$ は位数 $d$ の元 $\iff$ $\alpha$ は1の原始 $d$ 乗根 $\iff$ $\alpha$ は $\phi_d$ の根である。
$\alpha \in \mu_n$ の位数を $d$ とすると $d|n$ であるので、 $d$ の候補について $\phi_d$ をかけあわせたものが、 $\prod_{\alpha \in \mu_n} (X-\alpha) = P_n$ になる。
(2) $\phi_n(X) = \frac{X^n-1}{\prod_{d|n,d < n} \phi_d(X)}$ に注意する。
$p=0$ とし、帰納法で示す。 $n=1$ で $\phi_1(X) = X-1 \in \Q[X]$ である。
$d < n$ に対して、 $\phi_d \in \Q[X]$ とする。 $\Q[X]$ はユークリッド整域であるので、 $X^n -1 \in \Q[X]$ より、 $\phi_n \in \Q[X]$ である。
一般に体係数の1変数多項式環はユークリッド整域であるので、 $p>0$ の場合も、 $\phi_1(X) = X-1 \in \mathbb{F}_p[X]$, $X^n-1 \in \mathbb{F}_p[X]$ より、同様に帰納法で $\phi_n \in \mathbb{F}_p[X]$ を得る。
また、 $\deg(\phi_n) = n - \sum_{d|n,d < n}\deg(\phi_d) = n - \sum_{d|n,d < n} \varphi(d) = \varphi(n)$ である。
(3) $p=0$ とする。 $\prod_{d|n,d < n} \phi_d(X) \in \Z[X]$ はmonicな多項式の積なのでmonicであり、よって係数の最大公約元は1、特に原始多項式である。 $X^n-1 \in \Z[X]$ と $X^n-1 = (\prod_{d|n,d < n} \phi_d(X)) \phi_n(X)$ より上記補題によって $\phi_n \in \Z[X]$ が従う。
$p>0$ とする。 $f=gh \in \Z[X]$ の時、自然な射影 $\Z \to \mathbb{F}_p$ を考えると、 $\bar{f} = \bar{g}\bar{h}$ であるので、 $h=f/g$ は $\Z[X] \ni h \mapsto \bar{h} = \bar{f}/\bar{g} \in \mathbb{F}_p[X]$ である。
よって、 $\Z[X] \ni \phi_n(X) \mapsto \frac{\overline{X^n-1}}{\prod_{d|n,d < n} \overline{\phi_d}(X)} = \overline{\phi_n}(X)$ となり主張を得る${}_\blacksquare$
*1:飽きたらやめようGalois理論(5)―Gaussの補題で遊ぶ - らんだむな記憶のGaussの補題は、この補題のもうちょっと丁寧版からも導ける。see「代数概論」
