$A$-代数のテンソル積の例としてはどういったものがあるか？
ということについては、例えば C*-代数のテンソル積がある。これについては「C*-algebras and operator theory」に解説がある。あまり universal property については細かい記述はないかもしれないが。
Tensor product of algebras - Wikipedia, the free encyclopediaによると、テンソル積によって $R$-代数の圏は対称モノイダル圏になるらしい。意味は分からん。また代数幾何でも応用があるらしいが代数幾何の知識はない。逆圏とか出てくるんだーということを明後日の方向を見ながら思うしかない。
久しぶりに非可換幾何とGelfand duality(2) - らんだむな記憶を読み返すと目がちかちかしてもう無理な気持ちにしかなれない。
