Galois理論(50)―方程式のガロア群と判別式 - らんだむな記憶で大分抽象的に解析が進んだので具体例を見てみよう。
$K=\Q$ とし、その上の3次の分離既約多項式を $P(X)=X^3-2$ とする。
$\omega = \exp(2\pi i/3)$ と置くとき、 $P$ の根は $\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\,\omega,\sqrt[3]{2}\,\omega^2$ である。 $P$ の分解体は $M=\Q(\sqrt[3]{2},\omega)$ であるので、 $\Q(\sqrt[3]{2})/\Q$ はガロア拡大ではない。
判別式は $\Delta = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}\,\omega)^2 (\sqrt[3]{2}\,\omega - \sqrt[3]{2}\,\omega^2)^2 (\sqrt[3]{2}\,\omega^2 - \sqrt[3]{2})^2 = -108$ であり、 $\sqrt{\Delta} = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}\,\omega) (\sqrt[3]{2}\,\omega - \sqrt[3]{2}\,\omega^2) (\sqrt[3]{2}\,\omega^2 - \sqrt[3]{2}) = -6(2\omega+1)$ である。
このことから、 $\Q(\sqrt{\Delta}) = \Q(\omega)$ であることが分かる。
つまり、 $\Q \subset \Q(\sqrt[3]{2},\omega)$ の真の部分体は、2次拡大のものが $\Q(\omega)$ であって、3次拡大のものが $\Q(\sqrt[3]{2})$, $\Q(\sqrt[3]{2}\,\omega)$, $(\sqrt[3]{2}\,\omega^2)$ となる。
上記を踏まえ、 $k=\Q(\omega)$ とすると、再び $P(X)=X^3-2 \in k[X]$ は分離既約多項式であるが、今度は最小分解体 $M =\Q(\sqrt[3]{2},\omega)$ に対して $M/k = \Q(\sqrt[3]{2},\omega)/\Q(\omega)$ がガロア拡大になっている。 $\sqrt{\Delta} = -6(2\omega+1) \in k$ であり、 $\Q(\omega) \subset \Q(\sqrt[3]{2},\omega)$ の真の部分体はナシとなる。
