以下は「体とガロア理論」§3.2 例3.15と本質的に同じである。
Prop
$\mathbb{F}_p \subset \mathbb{F}_{p^2} \subset \cdots \subset \mathbb{F}_{p^{2^n}} \subset \cdots$ という拡大体の列を考え、 $L = \bigcup_{n} \mathbb{F}_{p^{2^n}}$ と置く。
この時、 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{F}_p)$ は巡回群ではない。
proof
まず、 $\alpha \in L$ をとると、 $P_\min(\alpha,\mathbb{F}_p)$ の次数をnとすると、これは $\mathbb{F}_{p^n}$ で分解する*1。従って特に $L$ で分解するので、 $L/\mathbb{F}_p$ は正規拡大である*2。また、有限体の拡大体は分離拡大であるので*3、 $L/\mathbb{F}_p$ は分離拡大であり、従ってガロア拡大である。
$a_n = 1+2+4+ \cdots + 2^n$ を考える。この時、 $x \in \mathbb{F}_{p^{2^n}}$ に対して、 $\mathrm{Fr}$ を Frobenius 写像 $x \mapsto x^p$ として、 $\mathrm{Fr}^{a_n}(x) = \mathrm{Fr}^{a_m}(x),\ \forall\,m > n$ が成立する。
∵) $x \mapsto x^q = id \text{ on } \mathbb{F}_q$ であるので、 $q = p^{2^{n+\ell}}$ として、 $\mathrm{Fr}^{2^{n+\ell}} = id \text{ on } \mathbb{F}_{p^{2^{n+\ell}}},\ \forall\,\ell > 0$ が成立する。ところで $2^n|2^{n+\ell},\ \forall\,\ell > 0$ から $\mathbb{F}_{p^{2^n}} \subset \mathbb{F}_{p^{2^{n+\ell}}}$ であるので、 $\mathrm{Fr}^{2^{n+\ell}} = id \text{ on } \mathbb{F}_{p^{2^n}},\ \forall\,\ell > 0$ が成立する。
よって、 $\mathrm{Fr}^{a_{n+1}}(x) = (\mathrm{Fr}^{a_n} \circ \mathrm{Fr}^{2^{n+1}})(x) = \mathrm{Fr}^{a_n}(x),\ x \in \mathbb{F}_{p^{2^n}}$ となり、帰納的に、 $\mathrm{Fr}^{a_n}(x) = \mathrm{Fr}^{a_m}(x),\ \forall\,m > n$ を得る。
よって、 $\mathbb{F}_p$ 上の写像 $\varphi: L \to L$ として
\begin{equation}
\varphi(x) := \mathrm{Fr}^{a_n}(x),\ x \in \mathbb{F}_{p^{2^n}}
\end{equation}
で定めると、 $x,y \in L$ に対して $x,y \in \mathbb{F}_{q^{2^n}}$ となる体の中で計算することで、体の演算を保つことが分かり、 $\varphi \in \mathrm{Gal}(L/\mathbb{F}_p)$ となる。
ところが、どのような $k \in \Z$ に対しても $\mathrm{Fr}^k \neq \varphi$ である。これは形式的には $\varphi = \mathrm{Fr}^{1+2+\cdots + 2^n + \cdots}$ であるためである*4。
よって、 $\varphi \not\in \langle\mathrm{Fr}\rangle$ となるので、 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{F}_p)$ は $\langle\mathrm{Fr}\rangle$ の部分群にはならない${}_\blacksquare$
以上からGalois理論(53)―ガロア対応の全単射性が崩れるケース - らんだむな記憶の最後の主張が得られたので、無限次拡大の場合には「ガロア対応の全単射性」が崩れることが分かった。
