$A$-代数のテンソル積について。 $M,N$: $A$-代数。\begin{array}{ccccc} P & \overset{h}{\longleftarrow} & M \otimes_A N & \overset{h}{\longrightarrow} & \!\!\!\! P \\ \!\!\!\! f \uparrow & \!\!\!\circlearrowleft\ \nearrow \varphi & & \psi \nw…

続き。 $\Q$-代数としての同型, $\Q(\sqrt{2})$-代数としての同型としての連鎖で以下を得る。$\Q(\sqrt{2}) \otimes_\Q \Q(\sqrt{3}) \simeq \Q(\sqrt{2}) \otimes_\Q \Q[X]/(X^2-3) \simeq \Q(\sqrt{2})[X]/(X^2-3)$ここで、 $X^2-3$ は $\Q(\sqrt{2})[X]$ …

色んな例の続き。苦手だゎ...。$X^2+1 \in \R[X]$ は既約なので、 $\R[X]/(X^2+1)$ は体になる。(飽きたらやめようGalois理論(1)―体と既約多項式 - らんだむな記憶) 具体的には、 $\R[X]/(X^2+1) = \{a + bX;\ a,b \in \R\} \simeq \C$ 或は、stem fieldを思…

なんだかよく分からなくなってきたので、具体例を見ていく。$A$: 環, $B$: $A$-代数として、 $A[X]$ の係数環をbase changeする。 $B \otimes_A A[X] \simeq B[X]$ を見たい。 \begin{array}{rccc} \varphi: &A[X] &\to &B \otimes_A A[X] \\ &X^n &\mapsto …

Theorem (有限 $K$-代数の構造定理) $K$: 体, $A$: $K$-代数。 $\dim_K A (1)$A$ の極大イデアルは高々有限個である。($m_1,\cdots, m_r$) (2)$J := m_1 \cap \cdots \cap m_r = \prod m_j$ とする時、ある $n \in \N$ に対して $J^n = 0$ である。 (3)$A \s…

Lemma $A$: 環。 $m_1, m_2 \subset A$ を異なる極大イデアルとする。この時、 $m_1$ と $m_2$ は互いに素である。 proof $ 1 \not\in m_1 + m_2$ とする。ところが、 $m_1 + m_2$ はイデアルであり、 $m_1 \subset m_1 + m_2 \subsetneq A$ であるので、$m_…

Lemma $R$: 環。 $M $: $R$-自由加群とし、その基底の濃度を有限とする。この時、$\varphi \in \mathrm{Hom}_R(M,M)$ は単射であれば全射となり、従って(自己)同型写像になる。 proof $\{e_j\}_{1 \leq j \leq n}$ を $M $ の基底とする。 $\{ \varphi(e_j) …

日本の大学の数学の授業だと定理→証明→定理→証明→定理→証明→定理→証明→定理→証明→... という感じかなぁというところで、「これが物理学だ！」とかどっかの白熱教室とか、海外ドラマみたいに海外では非常にアクティブな雰囲気な授業(超絶イメージ)なのかな？…

$A$ を環として、 $I \subset A$ をイデアルとする時、 $B = A/I$ という $A$-代数を考えられるけど、 $M $ の係数環を $A$ から $B = A/I$ にbase changeした時にどういう構造になるんでしょうかね？というのが以下の命題。 係数を $I$ で割ることは、自分 …

$A$: 環, $B: A$-代数, $M: A$-加群とする。 $B$ は $A$-加群でもあるので、 $A$-加群としてのテンソル積 $B \otimes_A M $ を考えることができる。 一方これに $B$-加群としての構造を導入できる。(the base change of $M $ to $B$ (係数環の変換 *1 )) こ…

閑話休題的なー。$A$: 環。 $M,N: A$-加群の話に戻る。 $A$ はそれ自体 $A$-加群であるので、\begin{matrix} A \times M & \overset{f}{\longrightarrow} & M \\ \varphi \searrow & \backquad\backquad \circlearrowleft & \backquad \nearrow \tilde{f} \\…