飽きたらやめようGalois理論(26)―有限K-代数の構造定理 - らんだむな記憶の続き。
多項式 $F \in K[X]$ を既約因子に分解し、 $F(X) = P_1(X)^{k_1} \cdot\cdots\cdot P_r(X)^{k_r}$ と書くとする。
$A = K[X]/(F)$ と置く。中国の剰余定理により、
\begin{equation}
A = K[X]/(F) \simeq K[X]/(P_1)^{k_1} \times \cdots \times K[X]/(P_r)^{k_r}
\end{equation}
である。
ところで $m_j := (P_j \mod F)$ は $A$ の極大イデアルである。 $K[X]/(P_j)^{k_j} \simeq A/m_j^{k_j}$ であるので*1、
\begin{equation}
A \simeq A/m_1^{k_1} \times \cdots \times A/m_r^{k_r}
\end{equation}
を得る。これを一般化したものが有限 $K$-代数の構造定理と見ることができる。
Def
$A$: $K$-代数 が被約 (reduced) であるとは冪零元を持たないことである${}_\square$
Prop
$A$: 有限 $K$-代数とする。この時、以下は同値である。
(1)$A$ は被約である。
(2)$A$ の極大イデアル $m_1,\cdots,m_r$ に対して $A \simeq A/m_1 \times A/m_r$ と書ける。
(3)$A$ は体 $A/m_i$ の積である。
proof
(1)$\Rightarrow$(2):
有限 $K$-代数の構造定理により $A \simeq A/m_1^{k_1} \times A/m_r^{k_r}$ である。仮に $k_1 > 1$ とする。この時、 $x = (m_1,0,\cdots,0) \in A/m_1^{k_1} \times A/m_r^{k_r}$ は $x^{k_1} = 0$ であるので冪零であり仮定に矛盾する。
(2)$\Rightarrow$(1):
$A/m_i$ は体であるので冪零元を持たない。例えば、$0 \neq x \in A/m_i$ が $x^k = 0$ とすると、 $0 = (x^{-1})^{k - 1} x^k = x$ となって矛盾するからである。体の積も冪零元は持たないので $A$ は既約である。
(2)$\iff$(3):
$m_i \subset A$ は極大イデアルである。 $\iff$ $A/m_i$ は体である。${}_\blacksquare$
Def
$A$: $K$-代数 が局所 (local) であるとは極大イデアルを1つだけ持つことを言う。
$A$ が有限 $K$-代数の時には、その極大イデアル $m $ を用いて $A \simeq A/m^k$ となる。
例
以下は被約である。
- $\C \otimes_\R \C = \C \times \C$
- $\Q(\sqrt{2}) \otimes_\Q \Q(\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$
前者の場合、 $\C$ は体であり、その極大イデアルは $\{0\}$ のみである。よって、 $\C \otimes_\R \C = \C/\{0\} \times \C/\{0\}$ ということである。後者はそれ自身が体である。
$K$: 標数 $p$ の体とする。
有理函数体について $K(X)/K(X^p)$ を体の拡大と見る。 $X^p = Y$ と置いて、 $K(X^p) = K(Y)$ と書く。 $T^p - Y \in K[T]$ は既約であるので、stem field $K(\sqrt[p]{Y}) = K[\sqrt[p]{Y}] \simeq K[T]/(T^p - Y)$ つまり、 $K(X) \simeq K[T]/(T^p - X^p)$ を得る。これを踏まえると、
$K(X) \otimes_{K(Y)} K(X) \simeq K(X) \otimes_{K(Y)} K[T]/(T^p - X^p) = K(X) \otimes_{K(Y)} K[T]/(T-X)^p$ となるので、 $K(X) \otimes_{K(Y)} K(X)$ は冪零元 ($T-X \in K[T]/(T-X)^p$)を持つことが分かる。
これは、 $K(X)$ が $K(X^p)$ の純非分離拡大($T^p - Y$ の根をくっつけた拡大体)になっていることによる。
*1:子細かい部分で若干粗い気がするので飽きたらやめようGalois理論(35)―被約環と局所環ふりかえり - らんだむな記憶で補足する。
