Theorem
$K$: 体とする。この時、 $\bar{K}/K$ がガロア拡大 $\iff$ $K$ は完全体。
proof
($\Leftarrow$) 飽きたらやめようGalois理論(21)―完全体 - らんだむな記憶より、$\bar{K}$ は $K$ 上分離的である。また、飽きたらやめようGalois理論(40)―正規拡大 - らんだむな記憶より、 $\bar{K}$ は $K$ の正規拡大である。よって、 $\bar{K}/K$ はガロア拡大である。
($\Rightarrow$) $K[X]$ の既約多項式はその根 $\in \bar{K}$ の最小多項式であるが、仮定より $\bar{K}$ は $K$ 上分離的である。よって、飽きたらやめようGalois理論(21)―完全体 - らんだむな記憶の定理より、 $K$ は完全体である${}_\blacksquare$
abstract algebra - Algebraic closure of a perfect field. - Mathematics Stack Exchangeも参考になる。
例
(1) $K$ を標数0の体或は有限体とする。この時、その代数的閉包 $\bar{K}$ はガロア拡大になる。
∵) 飽きたらやめようGalois理論(21)―完全体 - らんだむな記憶の例よりこれらの体は完全体であるので、上記定理よりその代数的閉包はガロア拡大になる。
(2) $\bar{\mathbb{F}}_p(X)/\mathbb{F}_p(X)$ はガロア拡大ではない。
∵) $\mathbb{F}_p(X)$ は完全体ではない。
