ぼんやりと見ていると$$ \begin{align*} \int \sin x \cos x dx \end{align*} $$というネタがあった。曰く $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、$$ \begin{align} \int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x dx = - \frac{1}{4} \cos 2x …

functional equations - Finding a function $h$ that satisfies $h \left ( \frac{x}{x^2+h(x)} \right )=1$ - Mathematics Stack Exchange より。$$ \begin{align*} h \left( \frac{x}{x^2 + h(x)} \right) = 1 \tag{1} \end{align*} $$ $h(x) \neq \text{…

離散 Fourier 変換について確認してみたい。簡単のため長さ 3 の複素数列 $\{x_0, x_1, x_2\}$ を考える。$$ \begin{align*} y_m = \sum_{k=0}^2 x_k e^{-2 \pi i \frac{mk}{3}},\ 0 \leq m \leq 2 \tag{1} \end{align*} $$と置く。次に $\{y_0, y_1, y_2\}$…

ジャック・アダマール - Wikipedia によると、アダマールゲートのアダマールは偏微分方程式論の適切性で知られるアダマールらしい。アマダール行列の最初の例はシルヴェスターの慣性法則で知られる James Joseph Sylvester によって作られたのだとか。初めて…

twitter からネタを拾ったので。$f: \R \to \R$ なる函数があるとして、$\forall x,y \in \R$ に対して $f(x+y) = f(x) + f(y)$ が成立し、かつ原点で連続なら全体で連続か、と。$f(0) = f(0) + f(0)$ より $f(0) = 0$ なので、任意の $x \in \R$ と小さな数…

Math book わりと多岐にわたる話題を扱った Web の数学書がある。

multivariable calculus - How do you pronounce (partial) derivatives? - Mathematics Stack Exchange こんなに色々あるとは思わなかった・・・。over より by のほうが多そうなのもそうなのか・・・という感じ。

久しく読んでないけど、何かとっかかりが欲しいな。 https://arxiv.org/search/?searchtype=author&query=Isozaki%2C+H で検索すると磯崎先生の論文が出てきた。最近は逆問題系が多いなぁ・・・。気になる先生の論文とか探してメモっていこう・・・。 [1208.…

ある数列の収束 (1) - らんだむな記憶 で証明した補題を使って以下の定理を示したい。 Theorem ある実数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が与えられていて、ある実数 $\alpha$ に対して $a_n \to \alpha\ (n \to \infty)$ を満たしているとする。この数列と $0 \b…

以下のような問題を考える。 Lemma1 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ を実数列とし、ある実数列 $\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty$ と $0 \begin{align*} x_{n+1} = r x_n + \varepsilon_n \end{align*}という関係があるとする。ここで $\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\in…

なんか Hatena Blog でも KaTeX 使えそう。そのうち置き換えるかなぁ

最近の機械学習は $f(\text{input}) = \text{output}$ を input と output のサンプルの対から推定したいというシチュエーションのものが多いと思う。$(x_i, t_i)_{1 \leq i \leq L} \in \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^{d^\prime}$ をそのような対であると…

Jensenの不等式 - らんだむな記憶で触れたカルバック・ライブラー情報量について特定の確率分布の時に計算してみたい。PRML の 1.6. Relative entropy and mutual information にて relative entropy 或いは Kullback-Leibler divergence という名で知られる…

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)の Exercise として出てくるからまぁ一応実解析的なトピックスなのかな？ イェンセンの不等式 - Wikipediaの参考…

ニューラルネットワークの記述として、 \begin{align} \R^{d_1} \xrightarrow{W_1(\cdot) + b_1} \R^{d_2} \xrightarrow{W_2(\cdot) + b_2} \R^{d_3} \end{align} や、活性化関数を考慮して $f_j(x) = \tanh(W_j \cdot x + b_j)$ に対して、\begin{align} \R…

前回で見たことを数学的な言葉で書くと、 ニューラルネットワークというのは要は Affine 変換を用いた微分可能な合成写像のことであり、 この“表現力に富んだ”合成写像により、入力値と期待される出力値をできるだけ近づけるような良い推定値を出せるように…

$x \in \R^1$ とする時、 \begin{align} e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) \end{align} により\begin{align} \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2},\ \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i},\ \tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i (e^{ix} + e^{-ix})} \end{…

具体例から学ぶ 多様体 多様体は苦手なのでちょっと気にはなるな。で、何に使うんだってのはあるし、さぁ使うぞってなった場合には結局避けてきたような物事が避けられなくなって詰むわけだけど・・・。

$f(x,y,z)$ を全微分可能な函数とし、 $x$ と $y$ だけ $t$ に依存しているとする。つまり、 $x = x(s,t,u,\cdots)$, $y = y(s,t,u,\cdots)$, $z = z(s,u,v,\cdots)$ のような状況を考える。 $\Delta x = x(t+\Delta t) - x(t)$ と書くことにすると \begin{a…

https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers#Definition_as_von_Neumann_ordinals https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number#Von_Neumann_ordinals von Neumannによる自然数の構成は算術の公理―数学の探究に載ってそう…

ついっぷるトレンド サービス終了のお知らせ｜Twitterで話題のニュース・画像・動画まとめ 【圧倒的真理】「数学を勉強して社会で何の役に立つの？」という定番の疑問に対する、最高にクールな答えが登場！！ これは納得するしかないわ : はちま起稿 ほーhtt…

Computer ModernType 1やOpenTypeフォーマットでも入手できる Computer Modern - Wikipedia

Using intervals — PyInterval 1.2.1.dev0 documentation pyinterval · PyPI PyIntervalが使えそうかなぁ

世界標準が期待される数式用フォント「STIX Fonts」 - 窓の杜を見ていたら“MathML”などで利用可能なフリーのOpenType数式フォントSTIX Fonts Project Websiteが紹介されていた。 Development of STIX version 2.0.0 was performed under a contract with ren…

数学は体力だ！ - 筑波大学 理工学群数学類/大学院数学専攻 数学を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚めたときは既に数学の世界に入っていなければならない。 惚れてまうやろって話“昼、弁当”とかいう用語が“Hilbert空間”に聞こえ、“工作用素材”みた…

数式フォントの比較という熱いサイトがある。 integralの形状 summationの形状 dの形状 xの形状 kの形状 などを重点的に考慮して「Computer Modern」かなぁ？と思ったら、結果も圧倒的だった(笑)1番使いたいやつと2番目に使いたいやつ、1番使いたくないやつ…

直線 $ax+by+c=0$ と点 $(s,t)$ があるとして、その距離は、 \begin{equation} \frac{|as+bt+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{equation}で与えられる。 $b(x-s)-a(y-t) = 0$ との交点を求めて、 $(s,t)$ からの距離を求めて整理すればこうなる。 結構期待したくな…

と聞くと、なんとなくJAXAでこもってみたとか人工衛星飛ばしてみたとか落ちちゃったとか、CERNの統計ツール使ってみたとか... ふとそんな言葉が脳裏をよぎる。まったくもってお元気そうでなにより(謎)さて、「宇」というと 「宇」という漢字の意味・成り立ち…

意味が分からんな...。なんだコレゎ？ 現役時代に代数学が1bitも理解できなかったのも分かる気がする。いまでさえ余暇の時間を膨大に投入してこれ1本に絞ってるのに全然分からん。他の基礎教科と一緒にやってた現役時代の投入時間では無理だ。これだけに大量…

日本の大学の数学の授業だと定理→証明→定理→証明→定理→証明→定理→証明→定理→証明→... という感じかなぁというところで、「これが物理学だ！」とかどっかの白熱教室とか、海外ドラマみたいに海外では非常にアクティブな雰囲気な授業(超絶イメージ)なのかな？…