Theorem (Galois の基本定理)
$L/K$: 有限次ガロア拡大とする。
(1) $K \subset F \subset L$ $\overset{\text{bij}}{\rightleftarrows}$ $H \subset \mathrm{Gal}(L/K)$
(2) $F/K$: ガロア拡大 $\iff$ $g(F) = F,\ g \in \mathrm{Gal}(L/K)$ $\iff$ $\mathrm{Gal}(L/F) \triangleleft \mathrm{Gal}(L/K)$
この時、
\begin{align}
\varphi: \mathrm{Gal}(L/K) &\overset{\text{surj}}{\rightarrow} \mathrm{Gal}(F/K) \\
g &\mapsto g|_F
\end{align}
であって、 $\mathrm{Ker}(\varphi) = \mathrm{Gal}(L/F)$ である。
proof
(1) 以下のような対応を考える。
\begin{array}{rcccl}
&\text{subfields} &\to &\text{subgroups} & \\
\Phi: &F &\mapsto &\mathrm{Gal}(L/F) & \\
&L^H &\leftarrow &H &: \Psi
\end{array}
$\Phi: F \mapsto \mathrm{Gal}(L/F)$ を見る。飽きたらやめようGalois理論(45)―性質の連鎖と正規拡大補足(1) - らんだむな記憶より、 $L/F$ は正規拡大であり、分離性についても伝播するので $L/F$ は分離拡大、よって $L/F$ はガロア拡大となる。
逆方向の対応を見る。 $\Psi: H \mapsto L^H$ を考える。飽きたらやめようGalois理論(42)―ガロア群とArtinの定理 - らんだむな記憶より $L^H$ は体であり、 $F \subset L^H \subset L$ は明らかである。
また $(\Psi \circ \Phi)(F) = L^{\mathrm{Gal}(L/F)} = F$ であるので、 $\Psi \circ \Phi = id$ である。
逆を見よう。有限次拡大を扱っているので、ここで現れている体の拡大の関係はすべて有限次であり、飽きたらやめようGalois理論(42)―ガロア群とArtinの定理 - らんだむな記憶より $L/L^H$ は有限次ガロア拡大である。よって、飽きたらやめようGalois理論(41)―ガロア拡大 - らんだむな記憶より $\mathrm{Gal}(L/L^H)$ は有限群であって、 $\#\mathrm{Gal}(L/L^H) = [L:L^H]$ が成立する。再び飽きたらやめようGalois理論(42)―ガロア群とArtinの定理 - らんだむな記憶より、 $\#\mathrm{Gal}(L/L^H) = [L:L^H] = \#H$ が成立する。
これを踏まえると $(\Phi \circ \Psi)(H) = \mathrm{Gal}(L/L^H) \supset H$ であるが、元の数が同じでることから $\mathrm{Gal}(L/L^H) = H$ となる、故に $\Phi \circ \Psi = id$ である。
(2)
① $F/K$: ガロア拡大
② $g(F) = F,\ g \in \mathrm{Gal}(L/K)$
③ $\mathrm{Gal}(L/F) \triangleleft \mathrm{Gal}(L/K)$
と置く。
(① $\Rightarrow$ ②) $\alpha \in F$ に対し、 $P_\min(\alpha,K)$ は仮定より $F$ で分解する。
$g \in \mathrm{Gal}(L/K)$ をとる。 $g$ は $P_\min(\alpha,K)$ の根を入れ替えるので、 $g(\alpha) \in F$ である。 $\alpha \in F$ は任意なので $g(F) \subset F$ となる。 $[F:K] < \infty$ なので、 $K$ 上の基底として $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ がとれるが、それぞれの最小多項式 $P_\min(\alpha_j,K)$ は $F$ で分解し、 $g$ によって根が入れ替わる作用をうける。つまり、 $P_\min(\alpha_j,K)$ すべての根の集合の $g$ による像は $K$ 上の $F$ の基底を含むので、 $g(F) = F$ となる。
(② $\Rightarrow$ ①) $g(F) \subset F$ の時、 $\alpha \in F$ の最小多項式 $P_\min(\alpha,K)$ のすべての根は $F$ に含まれる。これは以下の理由による:
まず、 $P_\min(\alpha,K)$ は $L$ で分解するので、すべての根 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n \in L$ である。 $\alpha = \alpha_1$ とする。ところで、 $\mathrm{Gal}(L/K)$ によってこれらの根は入れ替わるので、 $\alpha_j$ に対して適当な $g_j \in \mathrm{Gal}(L/K)$ をとることで $\alpha_j = g_j(\alpha_1)$ とできる。一方、仮定より $g_j(\alpha_1) \in F$ であるので、すべての $\alpha_j \in F$ である。よって、 $F/K$ は正規拡大である。
$g \in \mathrm{Gal}(L/K)$ をとると、 $g(F) \subset L$ である。
$h \in \mathrm{Gal}(L/F)$ をとると $h|_F = id$ である。この時、 $ghg^{-1}|_{g(F)} = id$ である。
ところで、 $K \subset g(F) \subset L$ は体である。*1 よって、 $L/g(F)$ もガロア拡大である。故に、 $ghg^{-1} \in \mathrm{Gal}(L/g(F))$ となる。
(② $\Rightarrow$ ③) $g(F) = F,\ \forall g \in \mathrm{Gal}(L/K)$ の時、 $ghg^{-1} \in \mathrm{Gal}(L/F),\ \forall\,h \in \mathrm{Gal}(L/F)$ であるので、 $\mathrm{Gal}(L/F) \triangleleft \mathrm{Gal}(L/K)$ である。
(③ $\Rightarrow$ ①) $\mathrm{Gal}(L/F) \triangleleft \mathrm{Gal}(L/K)$ とする。 $h \in \mathrm{Gal}(L/F)$ を動かすと $ghg^{-1} \in \mathrm{Gal}(L/F)$ は全体を動くので、 $L^{\mathrm{Gal}(L/F)} = F$ に注意すると、 $x \in F$ に対して $ghg^{-1}(g\cdot x) = g\cdot x$ より、 $g(F) \subset F$ である。残りは、② $\Rightarrow$ ①と同様である。
最後に、 $\varphi: \mathrm{Gal}(L/K) \overset{\text{surj}}{\rightarrow} \mathrm{Gal}(F/K);\ g \mapsto g|_F$ についてみる。任意に $h \in \mathrm{Gal}(F/K)$ をとる時、 $h \in \mathrm{Hom}_K(F,\bar{K})$ と見ることができる。飽きたらやめようGalois理論(41)―ガロア拡大 - らんだむな記憶の補題により、 $h$ の拡張 $\bar{h} \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ がとれて、 $\bar{h}|_F = h$ となる。 $\alpha \in L$ の最小多項式 $P_\min(\alpha,K)$ は $L$ で分離するので、① $\Rightarrow$ ②の証明と同様に、 $\bar{h}(L) = L$ が示せる。よって、 $\bar{h} \in \mathrm{Hom}_K(L,L)$ 即ち $\bar{h} \in \mathrm{Gal}(L/K)$ となる。よって、 $\varphi(\bar{h}) = h$ となるので、 $\varphi$ の全射性を得た。また、 $\mathrm{Gal}(L/K)$ の元で $F$ 上恒等写像となるものは $\mathrm{Gal}(L/F)$ であるので、 $\mathrm{Ker}(\varphi) = \mathrm{Gal}(L/F)$ である${}_\blacksquare$
*1:$g(F) \ni x = g\cdot y$ をとると、 $1 = g\cdot 1 = g \cdot (yy^{-1}) = (g\cdot y)(g\cdot y^{-1}) = x(g\cdot y^{-1})$ より、 $x^{-1} = g\cdot y^{-1} \in g(F)$ である。
