関数解析学 - 株式会社サイエンス社 株式会社新世社 株式会社数理工学社 興味はあるが、確かに Amazon のレビューにあるようにページ数のわりには内容が多いかもしれない。

T. Kato の論文。何故か Amazon で見つかるので不思議だなと思ったら Search: On the Eigenfunctions of Many-particle Systems in Quantum Mechanics という感じで古い論文とかを主ぱんしている出版社があるらしい。 Forgotten Books is a London-based boo…

内田老鶴圃／書籍詳細／機械学習のための関数解析入門 ヒルベルト空間とカーネル法 こんな本が最近出版されたらしい。今んとこ認識している範囲では、カーネル SVM を理解するくらいしか函数解析の出番はないと思っているけど、確かにその道のために通常の函…

確率測度のFourier変換 - らんだむな記憶の続き。 前回の最後で \begin{align} \mu(a, b) \approx \frac{1}{2\pi} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \mu (dx) \int_{\R^1} \exp(i \xi (x-\lambda)) d\xi \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (1) \end{align}…

確率測度の “Fourier 変換” を特性函数と呼ぶ。([1] p.87, [2] p.38, [3] p.21) 特性函数 簡単のため、 $\R^1$ のケースのみ考える。確率空間 $(\R^1, \mathcal{B}(\R^1), \mu)$ を考える時、 \begin{align} \varphi(\xi) = \int_{\R^1} \exp(i \xi x) \mu (…

Lagrangian 或いは Lagrange 方程式を Hamilton の正準方程式に変換する際に突如現れて、変換が終わると去ってしまう Legendre 変換。ルジャンドル変換 - Wikipediaを見ると物理で大活躍 (？) の様子。熱力学には疎いのでよく分からない。 Mathematical Meth…

函数空間 \begin{equation} H^1[0,1] = \left\{\, f \in L^2[0,1] \,\big|\,\, f \text{: absolutely continuous},\ f^\prime \in L^2[0,1] \right\} \end{equation}上の3つのノルムを考える。まず最初に \begin{equation} \|\,f\| = \left( \int_0^1 |\, f(…

命題 $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$ をBanach空間とし、 $f: \mathcal{X} \times \mathcal{Y} \to \mathbb{C}$ を双線型形式とする。 $f$ が $\mathcal{X}$ 成分、 $\mathcal{Y}$ 成分についてそれぞれ連続の場合、 $f$ は連続である。証明 $x_0 \in \mathcal{…

$X_1 \subset \mathbb{R}^{d_1},\ X_2 \subset \mathbb{R}^{d_2}$ として、連続写像 $\mathscr{K}:C_\mathrm{c}^\infty(X_1) \to \mathcal{D}^\prime(X_2)$ があるとする。\begin{equation} \langle \mathscr{K} \phi,\ \psi \rangle,\quad \phi \in C_\math…

調和振動子 $T = -\Delta + x^2,\ x \in \mathbb{R}^d$ のスペクトルは固有値のみ。遠方で発散するポテンシャルを持つSchrödinger作用素の場合、レゾルベントがコンパクト作用素になるから・・・といった理由だったと思う。 この作用素は $p(x,\xi) = \xi^2 …

$\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ の行列 $A$ について $\Re(A) := \frac{1}{2}(A+A^*),\ \Im(A) := \frac{1}{2i}(A-A^*)$ と置くと、これらはエルミート行列となる。 エルミート行列 $B$ の固有値は実数であるので、適当なユニタリ行列 $U$ 対角化によって、 \…

$\mathrm{Mat}(2,\mathbb{C})$ の行列 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}について考えてみる。これは正値行列だ。固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 3$ で、対応する固有ベクトルは正規化した状態…

さて、無限次元ベクトル空間に思いを馳せてみよう。今度はM. Reed-B. Simonの「Method of modern mathematical physics - Functional Analysis」を参照しよう。一般のBanach空間においてはSchauder basis - Wikipedia, the free encyclopediaが考えられるが…

というのがあるらしいのだが、なんと言うことだか... 知らん。「Bergmanの再生核」というやつは昔どこで見たのか知らないけど、たぶん20年前くらいからその名前だけ知っている。どこで見たんだろう？ とりあえず手持ちの本で再生核への言及があるのは2冊で、…

メモを残そうと思って半分だけ書いてから数日過ぎた...。再び$\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y}$をBanach空間とする。$T \in \mathscr{L}(\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y})$とし$\mathfrak{Y}_0 := R(T)$とおく。 $\mathfrak{Y}_0 \subset \mathfrak{Y}$が閉空間で…

函数解析の3大原理の1つに「開写像定理 (Open mapping theorem)」というのがあるので、そのメモを残してみたい。 定理(開写像定理) $\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y}$をBanach空間とする。$T \in \mathscr{L}(\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y})$を$R(T) = \mathfrak…