$A$-代数のテンソル積の一意性。
(1)$\varphi,\psi$の像 $\varphi(m) \psi(n), m \in M, n \in N$ は $M \otimes_A N$ を生成する。
(2)$(\varphi,\psi)$, $M \otimes_A N$ は「普遍性」を持つ。
ような $A$-代数は同型を除いて一意である。
このような性質を持つ $(f,g)$, $T$ が別にあるとする。
$(f,g)$ は $h: M \otimes_A N \to T$ を定める。一方、 $(\varphi,\psi)$ は $k: T \to M \otimes_A N$ を定める。
$f = h \circ \varphi,\ g = h \circ \psi,\ \varphi = k \circ f,\ \psi = k \circ g$ より、
\begin{equation}
\begin{cases}
\varphi = (k \circ h) \circ \varphi, \\
\psi = (k \circ h) \circ \psi , \\
f = (h \circ k) \circ f, \\
g = (h \circ k) \circ g
\end{cases}
\end{equation}
が成立する。
$m \otimes 1 = \varphi(m) = (k \circ h) \circ \varphi(m) = (k \circ h)(m \otimes 1),\ 1 \otimes n = (k \circ h)(1 \otimes n)$ を $M \otimes_A N$ の中で掛け合わせることで、 $m \otimes n = (k \circ h)(m \otimes n)$ を得る。
$\{ m \otimes n \}$ は $M \otimes_A N$ を生成するので $k \circ h = id_{M \otimes_A N}$ を得る。
同様に $f(m)g(n) = (h \circ k)( f(m)g(n) )$ を得るが、仮定より $\{ f(m)g(n) \}$ が $T$ を生成するので、 $h \circ k = id_T$ を得る。
よって、 $M \otimes_A N \overset{h}{\simeq} T$ が成立する。
