Def
$L/K$ が正規拡大であるとは、 $L$ が $K[X]$ のある多項式の族の(最小)分解体になっている時を言う。
Remark
$P \in K[X]$ の分解体は正規拡大である。
上記の定義は幾つかの本で見られるが、以下の定理の(1)が最も共通に見られる定義のように思う。
Theorem
$L/K$: 代数拡大に対して以下は同値:
(1) $\forall\,\alpha \in L$ に対して $P_\min(\alpha,K)$ は $L$ で分解する。($L$ に根を持つ既約多項式 $\in K[X]$ は $L$ で分解する。)*1
(2) $L$ は正規拡大である。
(3) $\forall\,\varphi,\psi \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ に対して $\varphi(L) = \psi(L)$ である。
(4) $\mathrm{Aut}(L/K)$ は $\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ に左右から推移的に作用する。
proof
(1)$\Rightarrow$(2):
$\{P_i\}_{i \in I} = \{P_\min(\alpha,K);\ \alpha \in L\}$ と置くと、$L$ は $\{P_i\}_{i \in I}$ の分解体である。
(2)$\Rightarrow$(3):
\begin{align}
S &= \{\text{roots of } \{P_i\}_{i \in I} \text{ in } L\} \\
S^\prime &= \{\text{roots of } \{P_i\}_{i \in I} \text{ in } \bar{K}\}
\end{align}
とおく。ここで、族 $\{P_i\}$ の根は $L$ を生成している i.e. $L = K(S)$ 。任意の $\varphi \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ をとる。 $\varphi$ は体上の同型写像であるので単射であり中への同型写像であることに注意する。
$P_i(\alpha) = 0,\ \alpha \in L$ に $\varphi$ を作用させると、 $P_i(\varphi(\alpha)) = 0,\ \varphi(\alpha) \in \bar{K}$ となることから、 $\varphi: S \to S^\prime$ が分かる。ところが、実際には $S$ は $L$ を生成しているので、 $S = S^\prime$ である。よって、 $\varphi$ は $P_i$ を根すべてを $P_i$ の根にうつす。よって、 $\varphi(S) = S$ である。そして、 $S (= \varphi(S))$ は $\varphi(L)$ を決定するので、 $\varphi(L)$ は $\varphi \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ によらない。加えて言うと、 $\varphi(L) = K(\varphi(S)) = K(S) = L$ である。
(3)$\Rightarrow$(4):
$j,j^\prime \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ をとる。 $j \mapsto j^\prime$ をひきおこすような $\mathrm{Aut}(L/K)$ がとれることを示せば良い。ところで、 $j^\prime \circ j^{-1}: L \to L$ は $K$ 上の $L$ の中への同型なので、従って同型写像であり $j^\prime \circ j^{-1} \in \mathrm{Aut}(L/K)$ である。また $(j^\prime \circ j^{-1})\cdot j = j^\prime$, $j \cdot (j^{-1} \circ j^\prime) = j^\prime$ であるので、 $\mathrm{Aut}(L/K)$ は $\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ に左右から推移的に作用する。
(4)$\Rightarrow$(1):
$\alpha \in L$ をとり、その $K$ 上の最小多項式を $P_\min(\alpha,K)$ とする。その相異なる根を $\alpha_1,\cdots,\alpha_n \in \bar{K}$ とする。
$j_i \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ で
\begin{align}
j_i: L &\to \bar{K} \\
\alpha &\mapsto \alpha_i
\end{align}
となるものをとる。
$\mathrm{Aut}(L/K)$ は $\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ に推移的に作用するので、ある $\theta_i$ がとれて右からの作用で $j_1 \cdot \theta_i = j_i$ とできる。よって、 $\alpha_i = j_i(\alpha) = j_i ( \theta_i(\alpha) ) \in j_1(L)$ であるので、すべての根が $j_1(L)$ に含まれる。つまり、 $P_\min(\alpha,K)$ は $j_1(L)$ で分離する。 $j_1: L \overset{\sim}{\to} j_1(L)$ であるので、 $j_1^{-1}: j_1(L) \to L$ がとれる。 $P_\min(\alpha,K)$ の $j_1(L)$ での分解を $(X - \beta_1)\cdots(X - \beta_m)$ とし、 $j_1^{-1}$ を作用させると、 $(X - \gamma_1)\cdots(X - \gamma_m),\ \gamma_i = j_1^{-1}(\beta_i) \in L$ を得る。従って $P_\min(\alpha,K)$ は $L$ で分解する${}_\blacksquare$
Remark
$K$: 体に対して、 $\alpha \in \bar{K}$ の最小多項式は $\bar{K}$ で分解するので、 $\bar{K}/K$ は正規拡大である。
*1:その根が $L$ を生成することは求めない。
