分離性: 飽きたらやめようGalois理論(20)―分離性の同値条件 - らんだむな記憶より、 $L$ が $K$ 上分離的とは $[L:K]_{sep} := |\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})| = [L:K]$ の時であった。(根が $\bar{K}$ で完全に分離して、準同型の個数がある根から別の根への写像の分だけ考えられる)
$K \subset L,E$ を拡大とする。Base changeの時の $A$ を $K$ に、 $B$ を $E$ として読み替えると、Base change theorem (飽きたらやめようGalois理論(24)―Base change theorem - らんだむな記憶) は、
\begin{equation}
\mathrm{Hom}_K(L,E) \simeq \mathrm{Hom}_E(E \otimes_K L,E)
\end{equation}
となる。ここで特に、 $L$ を $K$ 上有限とすると、係数拡大 $E \otimes_K L$ も $K$ 上有限となる。*1 特に、有限 $E$-代数になる。記号の置き換えとして、 $A = E \otimes_K L$ とする。
すると、有限K-代数の構造定理 (飽きたらやめようGalois理論(26)―有限K-代数の構造定理 - らんだむな記憶) より、 $A$ の極大イデアルを $m_1,\cdots,m_r$ として、 $A \simeq A/m_1^{k_1} \times \cdots \times A/m_r^{k_r}$ を得る。
ここで定義を用意する。
Def
\begin{equation}
A_\mathrm{red} \overset{\text{def}}{=} A/m_1 \times \cdots \times A/m_r
\end{equation}
補題を1つ用意する。
Lemma
$A$ を上記のようなものとする。この時、以下が成立する。
$x \in A$ が冪零 $\iff$ $x \in \bigcap m_j$
proof
$\varphi:A \overset{\sim}{\to} A/m_1^{k_1} \times \cdots \times A/m_r^{k_r}$ とする。
($\Leftarrow$) $\varphi(x)^{k_1 \cdots k_r} = 0 \in A/m_1^{k_1} \times \cdots \times A/m_r^{k_r}$ なので、 $x^{k_1 \cdots k_r} = 0 \in A$ である。
($\Rightarrow$) $\varphi(x)=(y_1,\cdots,y_r) \in A/m_1^{k_1} \times \cdots \times A/m_r^{k_r}$ とする。 $x^\ell = 0$ とすると、 $y_j^\ell = 0$ であるので、各 $j$ ごとにある $\ell_j$ がとれて $y_j^{\ell_j} = 0$ となる。この時、 $y_j^{\ell_j} \in m_j^{k_j}$ である。 $m_j^{k_j} \subset m_j$ なので $y_j^{\ell_j} \in m_j$ である。ところで、極大イデアルは素イデアルであるので、 $y_j \in m_j$ or $y_j^{\ell_j - 1} \in m_j$ となる。 $y_j \not\in m_j$ とすると、 $y_j^{\ell_j - 1} \in m_j$ となり、帰納的に $y_j^{\ell_j - 2} \in m_j,\ y_j^{\ell_j - 3} \in m_j, \cdots$ となるが、 $y_j^{\ell_j - (\ell_j-1)} = y_j \in m_j$ となり矛盾である。従って、 $y_j \in m_j$ である。
$m_j \ni y_j = x \mod m_j^{k_j}$ なので、$x \in m_j,\ \forall j$ である。よって $x \in \bigcap m_j$ である${}_\blacksquare$
Remark
$A_\mathrm{red}$ は $A$ を冪零元の全体のなす集合で割ったものである。
冪零元全体のなす集合はイデアルをなす(冪零根基)が、これを $\sqrt{\{0\}}$ と書くことにすると、 $\sqrt{\{0\}} = \bigcap m_j$ ということである。
ところで、相異なる極大イデアルは互いに素なので($m_1 \subsetneq m_1 + m_2 \subset A$ により、 $m_1$ の極大性から $m_1+m_2=A$)、中国の剰余定理から $A/\bigcap m_j \simeq A/m_1 \times \cdots \times A/m_r$ が従う。よって、 $A/\sqrt{\{0\}} \simeq A/m_1 \times \cdots \times A/m_r$ となるので、 $A_\mathrm{red} = A/\sqrt{\{0\}}$ ということになる。
*1:有限次元 $\R$-ベクトル空間の係数を $\R$ から $\C$ にしたところで、やはり有限 $\C$-ベクトル空間となるようなものである。
