$i_1,\cdots,i_n,j_1,\cdots,j_n \in \{0,1\}$ の時、$$ \begin{align*} \ket{i_1}\bra{j_1} \otimes \cdots \otimes \ket{i_n}\bra{j_n} = \ket{i_1\cdots i_n}\bra{j_1\cdots j_n} \end{align*} $$を示したい。 つまりケットブラで作れる “行列単位” は $\…

いわゆる $A = U \Sigma V^{*}$ な特異値分解を簡単なケースで眺めてみたい。2 乗するち単位行列になるという扱いやすい性質を持つ Pauli 行列を少し改造して$$ \begin{align*} A = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{3} & 0 \end{pmatrix} \end…

少し古い本ではあるが、暗号理論と代数学 をもとに RSA 暗号について少し見てみたい。RSA 暗号は 1977 年に発表された公開鍵暗号ということである。以下、$\varphi$ を Euler 関数とする。 概略 $p,q$ を 201 桁以上の素数とし、非公開とする。 $N = pq$ と…

Albert Chern on Twitter: "Lewis Carroll invented one of the fastest algorithms for computing determinants while publishing his most famous novel "Alice in Wonderland" (1865).… https://t.co/apbUTMjtAB" え？そうなの？これ知らない・・・。

不変部分空間 - らんだむな記憶 を続ける。補題を一つ用意する。 補題 $A$ を正則行列とする。$V^\prime$ を $A$-不変なベクトル空間とする。この時、$\mathrm{Ran}(A|_{V^\prime}) = V^\prime$証明 $e_1, \cdots, e_k$ を $V^\prime$ の基底とすると、$A e_…

$V$ を有限次元ベクトル空間とする。$A: V \to V$ を正則行列とする。$V^\prime \subsetneq V$ を部分空間とし、$A$-不変であるとする。$\dim V^\prime = k \begin{align*} A (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}, \cdots, e_n) = (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}, \cdot…

テンソル積(2) - らんだむな記憶 の有限次元ベクトル空間同士のテンソル積の例を思い出そう。このテンソル積が Kronecker 積 (2) - らんだむな記憶 で触れた Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels のテンソル積の定義を満たすことを確認す…

飽きたらやめようGalois理論(22)とテンソル積(1) - らんだむな記憶 テンソル積(2) - らんだむな記憶 テンソル積(3) - らんだむな記憶 飽きたらやめようGalois理論(23)―A-加群の基底 - らんだむな記憶 飽きたらやめようGalois理論(24)―Base change theorem - …

Kronecker 積 - らんだむな記憶 の続き。Kronecker 積とテンソル積の関係を見たい。 （抽象的な）テンソル積 ベクトル空間のテンソル積の定義として Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels の p.403 のものを使う。定義 $E, F, M$ をベクト…

適当なベクトル空間 $V$ を考える時、$V \otimes V$ は、$v_1, v_2 \in V$ に対して、$V \simeq (V^*)^*$ と見て\begin{align*} (v_1 \otimes v_2)(\psi, \phi) = v_1(\psi) v_2(\phi),\ \psi, \phi \in V^* \end{align*}と定義される。$V$ が Hilbert 空間…

クォータニオンとは何ぞや？：基礎線形代数講座 - SEGA TECH Blog ハミルトンの四元数（体）とはまた懐かしい・・・。回転で一旦締めくくられるのは実用的だなぁ。まぁ、線型代数は幅広いから何か目的に特化した内容くらいが丁度良いかもしれないな。

『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』（ステファン・ボイド，リーヴェン・ヴァンデンベルグ，玉木 徹）｜講談社BOOK倶楽部 こういう本が出たらしい。

普遍性云々は置いておいて、ベクトル空間 $V$ を用いて、その双対空間 $V^*$ 上の $k$ 重線形写像のなす空間 $L_k(V^*)$ としてテンソル積 \begin{align} \otimes^k V = \overbrace{V \otimes \cdots \otimes V}^k := L_k(V^*) \end{align}を定める。このテ…

$V = \mathbb{R}^2$ に対して、テンソル積 $V \otimes V$ を考える。 $V$ の基底を $e_1,\ e_2$ とする。 線型写像 $\varphi: V \otimes V \to \mathrm{Mat}(2,\mathbb{R}^2)$ を $\varphi(e_i \otimes e_j) = (a_{pq}),\ a_{pq} = \begin{cases} 1,\ (p,q) …

Prop (1)$G$: 可解群, $H \subset G$: 部分群 $\Rightarrow$ $H$: 可解群 (2)$G$: 可解群, $H \triangleleft G$ $\Rightarrow$ $G/H$: 可解群 proof (1)$G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_{r-1} \supset G_r = \{e\}$ をフィルトレーションとす…

Def $G$ が可解群であるとは、フィルトレーション $G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_{r-1} \supset G_r = \{e\}$ を持ち、これが $G_{i-1} \triangleright G_i$ を満たし、 $G_{i-1}/G_i$ がAbel群になる時を言う${}_\square$ 例 (1)$S_3$ は…

Prop (1)冪根拡大体同士の合成体は再び冪根拡大である。 (2)$L/K$: (有限次)冪根拡大とする。この時、ある $K$ 上の有限次ガロア拡大 $E \supset L$ がとれて冪根拡大となる。 proof (1)$L_1 = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$, $L_2 = K(\beta_1,\cdots,\beta…

$K$: 標数0の体とする。 Def $E/K$: 有限次拡大が冪根拡大である或は代数的に解ける*1とは、ある $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ がとれて $E=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$ と書け、またある $n_i \in \N$ に対して $\alpha_i^{n_i} \in K(\alpha_1,\cdots,\al…

例 $\zeta_n = \exp(2\pi i/n)$ とする。 $\Q(\zeta_n) \Q(\zeta_m) = \Q(\zeta_n, \zeta_m) = \Q(\zeta_{\mathrm{LCM}(m,n)})$ となる。 $(m,n) = 1$ の時、 $\Q(\zeta_n)$ と $\Q(\zeta_m)$ は $\Q$ 上線型無関連である。この時、特に $\Q(\zeta_n, \zeta_…

以下の命題は「体とガロア理論」§3.3 定理3.16が相当する。 Prop (1)$K \subset L_1, L_2 \subset \bar{K}$ とする。 $L_1/K$ および $L_2/K$ がともにガロア拡大であり、 $K$ 上線型無関連とする。この時、以下は同型写像となる: \begin{array}{cccc} \varp…

Galois理論(65)―ガロア拡大における線型無関連性(1) - らんだむな記憶の仮定から「有限次」を落とすことができる。「体とガロア理論」§3.3 定理3.14が相当する。 Theorem $K \subset L_1,L_2 \subset \bar{K}$ とし、 $L_1/K$: ガロア拡大とする。 $K^\prime…

以下の補題は「体とガロア理論」§3.3 補題3.2が相当する。 Lemma $K \subset L_1,L_2 \subset \bar{K}$ とし、 $L_1/K$: 有限次ガロア拡大とする。 $K^\prime = L_1 \cap L_2$ とおく。 この時、 $L_1 L_2 / L_2$: 有限次ガロア拡大であり、 $\mathrm{Gal}(L…

例 $K \subset L_1, L_2 \subset \bar{K}$ とする。 $[L_1:K]=m,\ [L_2:K] = n$ とし、 $(m,n)=1$ とする。 この時、 $L1$ と $L_2$ は線型無関連である。 ∵) $[L_1 L_2:K] = [L_1 L_2: L_1][L_1:K]$ より $m | [L_1 L_2:K]$ であり、同様に $n | [L_1 L_2:K…

線型無関連な拡大について見ていく。Galois理論(62)―合成拡大 - らんだむな記憶の記号をそのまま使う。 Theorem (線型無関連) $K \subset L_1, L_2 \subset L$ を代数拡大とする。以下は同値である。 (a) $L_1 \otimes_K L_2$ は体である。 (b) $j$ は単射で…

Def (合成拡大) $K \subset L_1,L_2 \subset L$ を体の拡大とする。(超列的な例としては例えば、 $L = \bar{K}$)*1 この時、合成拡大 $L_1 L_2$ とは $L_1$ と $L_2$ が生成する拡大体、つまり $L_1 L_2 = L_2 L_1 = K(L_1 \cup L_2)$ のことを言う${}_\squa…

$L/K$ をガロア拡大とし $[L:K] = n$ とする。今度は $n = \mathrm{char}(K)$ の場合を考える。(Kummer 拡大の時には $(\mathrm{char}(K),n)=1$ を考えていた。) このケースでのガロア拡大は特にArtin-Schreier 拡大と呼ばれる。 Theorem $p = \mathrm{char}…

Galois理論(59)―Kummer拡大(1) - らんだむな記憶の逆を述べる。 Prop 任意の位数 $n$ の巡回拡大 $L/K$ が $(\mathrm{char}(K),n) = 1$ を満たす時、ある $a \in K$ に対して $L = K(\sqrt[n]{a})$ となる。 proof $\mathrm{Gal}(L/K) = \langle \sigma \ran…

以下で、巡回拡大(ガロア拡大であってかつそのガロア群が巡回群)の場合のKummer拡大について見る。「体とガロア理論」で言うと§3.6が該当する。(もっと一般的なケースは§3.16で扱われる)$n$: ある自然数を固定し、 $K$: 体を $(\mathrm{char}(K),n) = 1$ と…

$\zeta_n := \exp(2\pi i/n)$ と置く。 $L = \Q(\zeta_n)$ とすると、 $L/\Q$ はガロア拡大であり、 $\mathrm{Gal}(L/\Q) \simeq (\Z/n\Z)^\times$ であった。(Galois理論(57)―円分多項式の既約性と円分拡大 - らんだむな記憶) 例 $n = 8$ の場合。 $(\Z/8\Z…

Theorem 円分多項式 $\phi_n$ は $\Q[X]$ で既約である。 proof $\mu_n$ の生成元 $\zeta$ をとる。 $(p,n)=1$ なる素数 $p$ をとると、 $\zeta^p$ も原始根である。 $\phi_n = P_\min(\zeta,\Q)\cdot g,\ g \in \Z[X]$ と書ける。 $P = P_\min(\zeta,\Q)$ …