AtCoder の影響でトレンド化しているとか。 Euclidean domain - Wikipediaにより、整数環 $\mathbb{Z}$ と体 $K$ 上の多項式環 $K[X]$ はどちらもユークリッド整域であるので一意分解整域である。それぞれの整域における factorization のことをそれぞれ 素…

$d$次元Fourier変換を \begin{equation} \mathcal{F}u(\xi) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\int_{\R^d}\exp(- i x \cdot \xi) u(x) dx \end{equation}で定義する。 ここでは、2次元Fourier変換を考え、$u(x) = \chi_{[-1,1]^2}(x)$ つまり、 \begin{equation} \ch…

熱方程式の数値解析(3) - らんだむな記憶をpythonで再実装。 わりと計算が速かった。octaveは遅いのかな...。 #! /usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def initial_func(xx): length_xx = len(…

Ys Originがよくクラッシュするのでめげてpythonでグラフを描かせる。 Udacityの数値計算の講義の時の課題のpythonをもとに。[octave版] xx = linspace(-pi,pi,100); y1 = sin(xx); figure; grid on; hold on; plot(xx,y1,"r"); y2 = cos(xx); plot(xx,y2,"b…

金子先生の本数値計算講義 (ライブラリ数理・情報系の数学講義) | 金子 晃 | 本 | Amazon.co.jpをちょっと見てみたら波動方程式について載っていた。これは図書館で借りるとかするしかないな！金子先生の守備範囲は広いので著書を見ると色んな方面のがある。…

一旦まとめのつもり。熱方程式を理論の側面から眺める。空間の次元を$d \ge 1$として、考えている領域を全空間(1次元の場合では無限に長い棒)とする。 全空間の理論としては、熱方程式を形式的にFourier変換することで得られる \begin{equation} G_t(x) = \f…

他のパターンを見る。[initial_func.m] (抜粋) if x <= -0.1 || x >= 0.1 y(i) = 0; else if x < 0 y(i) = 5 * x + 0.5; else y(i) = -5 * x + 0.5; end end [heat.m] plot(xx, u(1,:), "r"); plot(xx, u(ceil(n/60),:), "b"); plot(xx, u(ceil(2*n/60),:), …

なんてこった...。ダメもとでちょっと変えたらいけてしまった...。本当はランダムウォークから熱方程式を導く場合には、 \begin{equation} \frac{u(t + \Delta t, x) - u(t, x)}{\Delta t} = \frac{1}{2} \frac{u(t, x + \Delta x) + u(t, x - \Delta x) - 2…

まぁ、難しいもんだ。[initial_func.m] % initial value at t=0 function y = initial_func(xx) length_xx = length(xx); y = zeros(1, length_xx); for i=1:length_xx x = xx(i); if x <= -1 || x >= 1 y(i) = 0; else y(i) = exp(- 1 / (1 - x**2)) / 10; …

あー - らんだむな記憶以来、熱方程式の初期値問題を解かせたかったが、色々やっているうちに後回しになっていた。ということで、差分方程式で熱方程式を書きたい。Laplacianの差分化については、Taylorの定理により、$\mathbb{R}^1$上のそこそこ滑らかな函…

よー考えると、Forward Euler Methodのやり方を使って熱方程式(拡散方程式) \begin{equation} \begin{cases} u(0, x) = u_0(x), \\ \frac{\partial}{\partial t} u(t,\ x) = \Delta u(t,\ x), \quad t \ge 0,\ x \in \mathbb{R}^2 \end{cases} \end{equation}…

アポロ13号 - Wikipediaによると 2日後、電線が短絡し火花が散ったことにより機械船の酸素タンクが爆発し、飛行士たちは深刻な電力と水の不足に見舞われることになった。司令船には独自のバッテリーと酸素が搭載されているが、それらは大気圏再突入の際に必…

微分方程式の講座を進めると、Symplectic method (Symplectic integrator; シンプレクティック積分法) なるものが出てきた。シンプレクティックと聞くと、シンプレクティック幾何学とかシンプレクティック多様体とか、なんか難しそうなイメージしかわかない…

理論は知らんが、Euler's methodでは離散化したステップサイズ$\Delta t$に対し、最終的に誤差GTEが$\mathrm{const.} \times \Delta t$で積もるようだ。 これを改善したホイン法(Heun's method)がLesson2で扱われる。これはGTEが$\mathrm{const.} \times (\D…

なんとなく微分方程式の数値解析に興味がまったくないわけではないが、数値解析の本を読んでみると、それは分からんでもないが説明だけがずらずら書いてあって肝心の計算機による計算についての記載が少ない、或は概念の説明だけ。(最近の本は知らんけど、一…

C. E. Shannonの定理という形で知られているやつ。結構面倒そうだからずっと放置してたけど、案外本質部分は簡単だった。 情報理論 (ちくま学芸文庫) | 甘利 俊一 | 本 | Amazon.co.jpの第2節 定理4.1を思いっきり簡略化して(かつ興醒めなスパイスを加えて)…

Windowsプログラマにとっての Visual Studio, イラストレータ/デザイナにとっての Photoshop/Illustrator, 数値計算分野においての MATLAB... これらはいずれも高額な印象がある。但し、無料開発ツール - Visual Studio Community 2015に見られるように、個…