体の拡大の際においしい性質が連鎖することが多い。
Prop
$L/K$: 有限次拡大, $M/L$: 有限次拡大 $\iff$ $M/K$: 有限次拡大
proof
($\Rightarrow$)$L$ の $K$ 上の基底を $v_1,\cdots,v_n$ とし、$M $ の $L$ 上の基底を $w_1,\cdots,w_m $ とする。
この時、 $\{v_i w_j\}$ は $M $ の $K$ 上の基底である。
($\Leftarrow$)$L \subset M $ なので、 $L$ の $K$ 上の基底は有限個である。もし $M $ の $L$ 上の基底は無限であるとすると、前半より、 $M $ の $K$ 上の基底が無限となり仮定に矛盾する ${}_\blacksquare$
Prop
$L/K$: 代数拡大, $M/L$: 代数拡大 $\iff$ $M/K$: 代数拡大
proof
($\Rightarrow$)任意に $\alpha \in M $ をとると、ある $f \in L[X]$ がとれて $f(\alpha) = 0$ となる。
$f(X) = \sum_{i=0}^n a_i X^i,\ a_i \in L$ とすると、 $K^\prime = K(a_0,\cdots,a_n)$ として $f \in K^\prime[X]$ となることを考慮して
\begin{align}
[K(\alpha):K] &\leq [K(a_0,\cdots,a_n,\alpha):K] \\
&= [K(a_0,\cdots,a_n,\alpha):K(a_0,\cdots,a_n)][K(a_0,\cdots,a_n):K] \\
&= [K^\prime(\alpha):K^\prime][K(a_0,\cdots,a_n):K] < +\infty
\end{align}
となるため。
($\Leftarrow$)$L \subset M $ なので、 $L/K$: 代数拡大が言える。 $K \subset L $ なので、 $M/L$: 代数拡大が言える${}_\blacksquare$
Prop
$L/K$: 分離(resp. 純非分離)拡大, $M/L$: 分離(resp. 純非分離)拡大 $\iff$ $M/K$: 分離(resp. 純非分離)拡大
proof?
飽きたらやめようGalois理論(20)―分離性の同値条件 - らんだむな記憶に有限次拡大の時の話としてちょこっと触れた... という程度でお茶を濁す...
とここまでは良いとして、同様の同値関係が正規性においては成立しない。
$K \subset L \subset M $: 代数拡大とする。この時、
$M/K$: 正規拡大 $\Rightarrow$ $M/L$: 正規拡大
proof
$M $ が $\{f_i\}_{i \in I} \subset K[X]$ の最小分解体であるとすると(新たに $S = \{\alpha_1,\cdots \}$ が増えるとする)、 $\{f_i\}_{i \in I} \subset L[X]$ と見ることで、飽きたらやめようGalois理論(40)―正規拡大 - らんだむな記憶の定義より、 $M/L$: 正規拡大となる。最小性については $L$ まで拡張しないと $S$ の元すべてをカバーできないことから従う${}_\blacksquare$
ここまでは言えるが、上記の条件のもと、「$L/K$: 正規拡大」が従わない。
$K=\Q,\ L=\Q(\sqrt[4]{2}),\ M=\Q(\sqrt[4]{2},i)$ とし、 $f(X) = X^4 - 2$ を考える。
$f(X) = (X^2-\sqrt{2})(X^2+\sqrt{2}) = (X-\sqrt[4]{2})(X+\sqrt[4]{2})(X-\sqrt[4]{2}i)(X+\sqrt[4]{2}i)$
より、 $M $ は $f \in K[X]$ の最小分解体であるので、 $M/K$ は正規拡大である。
一方、 $f$ は $L[X]$ においては $f(X) = (X-\sqrt[4]{2})(X+\sqrt[4]{2})(X^2+\sqrt{2})$ までしか分解できず、 $L/K$ は正規拡大とはならない。
また、逆方向についても否定的のようだ。
Remark
$L/K$: 正規拡大 , $M/L$: 正規拡大 $\not\Rightarrow$ $M/K$: 正規拡大
