さらに続き。 $E = \bar{K}$ ($K$ の代数的閉包) とする時、 $K \subset E = \bar{K} \subset A/m_i$ となるが、代数閉体は自明でない有限次拡大を持たないので $A/m_i = E = \bar{K}$ となる。 この時、 $A = \bar{K} \otimes_K L$ となる。更に $A_\mathrm…

飽きたらやめようGalois理論(34)―冪零根基による商環としての被約環 - らんだむな記憶の続き。引き続き、 $K \subset L,E$ を拡大とする。 $L$ を $K$ 上有限とするし、係数拡大 $A := E \otimes_K L$ を考える。 $A$ は 有限 $E$-代数である。 $A$ の極大イ…

ちょっと脇にそれて。飽きたらやめようGalois理論(33)―被約環と局所環 - らんだむな記憶の補足。$K$: 体とし、多項式 $F \in K[X]$ を考える。 $A = K[X]/(F)$ と置く。 Lemma $A$ は単項イデアル環である。 proof $A$ が体の場合には自明なイデアルのみであ…