飽きたらやめようGalois理論(34)―冪零根基による商環としての被約環 - らんだむな記憶の続き。引き続き、 $K \subset L,E$ を拡大とする。 $L$ を $K$ 上有限とするし、係数拡大 $A := E \otimes_K L$ を考える。 $A$ は 有限 $E$-代数である。 $A$ の極大イデアル $m_1,\cdots m_r$ をとることで、 $A \simeq A/m_1^{k_1} \times \cdots \times A/m_r^{k_r}$ と表されるのであった。
Prop
$\mathrm{Hom}_E(A,E) = \mathrm{Hom}_E(A_\mathrm{red},E)$
proof
$\varphi \in \mathrm{Hom}_E(A,E) $ をとる。 $0 \neq x \in A \ \text{s.t.}\ x^k = 0$ に対しては $0 = \varphi(x^k) = \varphi(x)^k$ となるが、 $\varphi(x) \neq 0$ とすると逆元 $\varphi(x)^{-1}$ をかけることで結局 $\varphi(x) = 0$ となり矛盾である。よって、 $\varphi(x) = 0$ となる。つまり冪零元は0にうつる。
\begin{array}{cccc}
\tilde{\varphi}: &A_\mathrm{red} &\to &E \\
&x + \sqrt{\{0\}} &\mapsto &\varphi(x)
\end{array}
はwell-definedである。と言うのも $x-y \in \sqrt{\{0\}}$ の時、 $\varphi(x) = \varphi(y)$ となるからである。これによって $\tilde{\varphi} \in \mathrm{Hom}_E(A_\mathrm{red},E)$ が定まる。
逆に、 $\psi\in \mathrm{Hom}_E(A_\mathrm{red},E)$ が与えられた時、自然な射影 $\iota: A \to A_\mathrm{red} = A/\sqrt{\{0\}}$ との合成によって $\psi \circ \iota \in \mathrm{Hom}_E(A,E)$ を得る${}_\blacksquare$
Propより、冪零元があると、準同型写像の定義域が狭くなり、相異なる準同型写像がとれる余地が減ることが分かる。 $A$ が被約であれば $\mathrm{Hom}_E(A,E)$ の個数が減ることもない。
$A$ が被約でない場合には $A_\mathrm{red} = A/\sqrt{\{0\}}$ は $A$ より小さくなるため、 $[A_\mathrm{red}:E] < [A:E]$ となる。
また、 $A/m_i$ は $E$ の拡大体である*1のだが、 $\mathrm{Hom}_E(A/m_i,E)$ は $[A/m_i,E] > 1$ の時には $\{0\}$ である。体上の0写像以外の準同型写像は単射であるのだが*2、次元の差によってこれは存在し得ないからである。
よって、 $[A/m_i,E] > 1$ の時、 $\mathrm{Hom}_E(A,E)$ の個数が減ることになる。
以上を踏まえると、 $A$ が被約かつ $A/m_i \simeq E$ の時に $\mathrm{Hom}_E(A,E)$ は一番無駄がないことが分かる。
*1:$E \ni e \mapsto e\bar{1} \in A/m_i$ であり、 $m_i$ の極大性から $A/m_i$ は体である。
