ガロア拡大...
きたか…!!
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Def
ガロア拡大とは正規かつ分離拡大のことを言う。
Theorem
$L/K$: 有限次拡大とする。この時、以下が成立する。
$\#(\mathrm{Aut}(L/K)) \leq [L:K]$
等号は、 $L$ がガロア拡大の時のみに成立する${}_\square$
「体とガロア理論」§3.1 定理3.3である。或はE. Artinの「ガロア理論入門」の第2章定理13とその系が相当する。
Galois理論(42)―ガロア群とArtinの定理 - らんだむな記憶で導入する記号と用語を用いると、ガロア拡大の場合には $\#\mathrm{Gal}(L/K) = [L:K]$ ということで、「有限次ガロア拡大の場合にはそのガロア群は有限群であり、位数は拡大次数に等しい」という内容になる。
Lemma
$L/K$: 代数拡大。 $C$: 代数閉体とする。
この時、 $\varphi \in \mathrm{Hom}(K,C)$ は $\bar{\varphi} \in \mathrm{Hom}(L,C)$ に拡張できる。つまり、ある $\phi \in \mathrm{Hom}(L,C)$ がとれて $\phi|_{K} = \varphi$ とできる ${}_\square$
Remark
$L/K$: 正規拡大とする。
(1) $K \subset L_1,L_2 \subset L$ なる部分体に対し、$K$-準同型 $\varphi: L_1 \overset{\sim}{\to} L_2$ があるとする。この時、 $\varphi$ は拡大 $\bar{\varphi} \in \mathrm{Aut}(L/K)$ を持つ。
∵) $\varphi: L_1 \to \bar{K}$ と見ると、上の補題により $\phi: L \to \bar{K}$ へと拡張できる。 $\phi|_{L_1} = \varphi$ なので $\phi$ は $K$ を不変にする。よって、 $\phi \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ である。Galois理論(40)―正規拡大 - らんだむな記憶の定理の(3)より $\phi(L) = L$ となるので、 $\phi \in \mathrm{Aut}(L/K)$ である。
(2) $\mathrm{Aut}(L/K)$ は $K[X]$ の任意の既約多項式の根上に推移的に作用する。
∵) ある既約多項式の根 $\alpha, \beta \in L$ をとると、飽きたらやめようGalois理論(8)―stem fieldの一意性 - らんだむな記憶より、 $K[\alpha] \simeq K[\beta]$ であった。この同型を与える写像を $\varphi \in \mathrm{Hom}_K(K[\alpha],\bar{K})$ とする。先の補題により、これは $\bar{\varphi} \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ に拡張できるが、 $L$ の正規性により、 $\bar{\varphi} \in \mathrm{Aut}(L/K)$ となる。 $\varphi(\alpha) = \beta$ なので $\bar{\varphi}(\alpha) = \beta$ である。
(3) $\mathrm{Aut}(L/K)$ が $\alpha \not\in K$ を固定する時、 $\alpha$ は $K$ 上純非分離的である。
∵) $\alpha$ の最小多項式 $P_\min(\alpha,K)$ の他の根を $\beta \in L$ とする($L$ は $P_\min(\alpha,K)$ の分解体でもあった)。 $\varphi: K[\alpha] \overset{\sim}{\to} K[\beta]$ をとると Remarkの(2)によって $\bar{\varphi}(\alpha) = \beta$ となるような $\bar{\varphi} \in \mathrm{Aut}(L/K)$ へと拡張できるが、仮定により $\bar{\varphi}(\alpha) = \alpha$ であるので、 $\alpha = \beta$ となり、 $P_\min(\alpha,K)$ は $\alpha$ を $\deg(P_\min(\alpha,K))$ 重複として持つ。よって、 $\alpha$ は純非分離的である。
特に、(3)より、 $L/K$ がガロア拡大の時、 $\mathrm{Aut}(L/K)$ が固定する元は純非分離的かつ分離的(ガロア拡大、つまり分離拡大の元だから)であるので、 $K$ の元しかないことになる。よって、 $L^{\mathrm{Aut}(L/K)} = K$ である。ここで、 $X^G = \{x \in X;\ g\cdot x = x,\ \forall\,g \in G\}$ である。
