さらに続き。
$E = \bar{K}$ ($K$ の代数的閉包) とする時、 $K \subset E = \bar{K} \subset A/m_i$ となるが、代数閉体は自明でない有限次拡大を持たないので $A/m_i = E = \bar{K}$ となる。
この時、 $A = \bar{K} \otimes_K L$ となる。更に $A_\mathrm{red} \simeq A/m_1 \times \cdots \times A/m_r = \prod_{i=1}^r \bar{K} = \bar{K}^r$ となる。
この時、 $A = A_\mathrm{red}$ $\iff$ $r\,(= [L:K] = [A:\bar{K}])$ は最も無駄のない値になる、という関係がある。
また、この時 $r = |\mathrm{Hom}_\bar{K}(A,\bar{K})| = |\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})|$ である。*1
要するに、 $\bar{K} \otimes_K L$: 被約 $\iff$ 最も無駄がない $\iff$ $|\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})| = [L:K]$ つまり $L$ は $K$ 上分離的、という形になっている。
Theorem
$L/K$ を有限次拡大とする。
(1a) $L$ が $K$ 上分離的 $\iff$ $\bar{K} \otimes_K L$ は被約
(1b) $L$ が $K$ 上純非分離的 $\iff$ $\bar{K} \otimes_K L$ は局所的
(2a) $L$ が $K$ 上分離的 $\iff$ $\Omega$: $K$ の任意の代数拡大に対して $\Omega \otimes_K L$ は被約
(2b) $L$ が $K$ 上純非分離的 $\iff$ $\Omega$: $K$ の任意の代数拡大に対して $\Omega \otimes_K L$ は局所的
(3) $L$ が $K$ 上分離的である時、 $n = [L:K]$ に対し、
\begin{array}{cccc}
\varphi: & \bar{K} \otimes_K L & \overset{\sim}{\to} & \bar{K}^n \\
& k \otimes \ell & \mapsto & (k \varphi_1(\ell), \cdots, k \varphi_n(\ell))
\end{array}
が同型写像になる。ここで、 $\{\varphi_i\} \subset \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ は互いに異なる準同型写像である
proof
(3)体上の準同型写像は単射であるので、 $\varphi$ は単射である。
次に、 $\varphi$ の全射性を見る。 $L$ の $K$ 上の基底を $v_1, \cdots, v_n$ とする。
$\forall\,k_1,\cdots,k_n \in \bar{K}$ に対して、 ある $x = \sum_{j=1}^n \kappa_j \otimes v_j \in \bar{K} \otimes_K L$ がとれて $\varphi_i(x) = \sum_{j=1}^n \kappa_j \varphi_i(v_j) = k_i$ を満たせば良い。このためには $\det(\varphi_i(v_j)) \neq 0$ であれば良い。ところで、$(\varphi_i(v_1),\cdots,\varphi_i(v_n))^T$ たちは、 $\varphi_i$ が単射であることと、 $\{v_j\}$ が基底であることより一時独立である。よって $\det(\varphi_i(v_j)) \neq 0$ である。故に $x = (\varphi_i(v_j))^{-1}(k_1,\cdots,k_n)^T \in \bar{K} \otimes_K L$ に対して、 $\varphi(x) = (k_1,\cdots,k_n)$ が分かった${}_\blacksquare$
