$K$: 体とし、 $(n,\mathrm{char}(K)) = 1$ とし $P_n = X^n - 1$ と置く。
$P_n$ は重根を持たない。というのも仮定より $P_n^\prime = n X^{n-1} \neq 0$ であるので、 $(P_n,P_n^\prime) = 1$ となるためである。
よって $P_n$ は厳密にn個の根を $\bar{K}$ 内に持つが、この根たちは群をなす。特に巡回群 $\subset \bar{K}^\times$ となる。これを $\mu_n$ で表す。
Def (原始根)
$\mu_n$ の元で、いかなる $d < n$ に対してもその $d$ 乗が1にならないようなものを1の原始根と呼び、その全体を $\mu_n^*$ で表す${}_\square$
例
$K = \Q$ とする。$n=3$ の時、 $\omega = \exp(2\pi i/3)$ とすると、 $\mu_3 = \{1,\omega,\omega^2\}$ であり、 $\mu_3^* = \{\omega,\omega^2\}$ である。
$\mu_n$ は巡回群であるのである生成元 $\zeta \in \mu_n$ をとることで、 $\mu_n = \{\zeta^a;\ 0 \leq a \leq n -1 \}$ と表すことができる。
一方、 $\mu_n^* = \{\zeta^a;\ (a,n) = 1 \}$ であるので、Euler函数を用いて $|\mu_n^*| = \varphi(n)$ と表すことができる。
Def (円分多項式)
$\phi_n(X) = \prod_{\alpha \in \mu_n^*}(X-\alpha) \in \bar{K}[X]$ を(n番目の)円分多項式と呼ぶ。
$\deg(\phi_n) = \varphi(n)$ である${}_\square$
例
$K = \Q$ とする。
$\phi_1(X) = X-1$, $\phi_2(X) = \frac{X^2-1}{X-1} = X+1$, $\phi_3(X) = \frac{X^3-1}{X-1} = X^2+X+1$, $\phi_4(X) = \frac{X^4-1}{(X+1)(X-1)} = X^2+1$, $\phi_5(X) = \frac{X^5-1}{X-1} = X^4+X^3+X^2+X+1$
