いわゆる $A = U \Sigma V^{*}$ な特異値分解を簡単なケースで眺めてみたい。2 乗するち単位行列になるという扱いやすい性質を持つ Pauli 行列を少し改造して
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
0 & -\frac{i}{2} \\
\frac{i}{3} & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
を考えたい。これは
$$
\begin{align*}
A^{*} A = \begin{pmatrix}
\frac{1}{9} & 0 \\
0 & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
を満たす。スペクトル分解の教えるところでは、$A^{*} A$ の固有値 $\lambda_1 = \frac{1}{9}$, $\lambda_2 = \frac{1}{4}$ に対応する “単位の分解” なる射影作用素 $P_1$, $P_2$ がとれて
$$
\begin{align*}
A^{*} A = \frac{1}{9} P_1 + \frac{1}{4} P_2
\end{align*}
$$
と書けるというのである。実は
$$
\begin{align*}
P_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix},\ P_2 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
である。
$$
\begin{align*}
\psi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \psi_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
と置くと、これらは $\lambda_1$ と $\lambda_2$ の固有ベクトルになっている。さて、特異値分解というやつは
$$
\begin{align*}
\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} A^{*} A \psi_1,\ \phi_2 = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} A^{*} A \psi_2
\end{align*}
$$
と置く時に、$A \psi = \sum \sqrt{\lambda}_n \braket{\psi_n,\psi}\phi_n$ という展開ができますよということを主張している。いわゆるコンパクト作用素の canonical form である。これを行列の形で書くと、
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix} \phi_1\quad \phi_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \bar{\psi}_1^T \\ \bar{\psi}_2^T \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
となる。簡単な計算で、$\phi_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3i \end{pmatrix}$, $\phi_2 = \begin{pmatrix} -2i \\ 0 \end{pmatrix}$ が分かるので、結局 $A$ の特異値分解は
$$
\begin{align*}
A = \begin{pmatrix} 0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & 0 \\
0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
ということになる。
