例
$\zeta_n = \exp(2\pi i/n)$ とする。
$\Q(\zeta_n) \Q(\zeta_m) = \Q(\zeta_n, \zeta_m) = \Q(\zeta_{\mathrm{LCM}(m,n)})$ となる。
$(m,n) = 1$ の時、 $\Q(\zeta_n)$ と $\Q(\zeta_m)$ は $\Q$ 上線型無関連である。この時、特に $\Q(\zeta_n, \zeta_m) = \Q(\zeta_{mn})$ である${}_\square$
$\Q(\zeta_n, \zeta_m) \subset \Q(\zeta_{\mathrm{LCM}(m,n)})$ の等号は多少計算が必要である。 $\mathrm{LCM}(m,n) \mathrm{GCD}(m,n) = mn$ である。 $d = \mathrm{GCD}(m,n)$ とすると、Bézout's lemma により、 $d = am + bn$ となる $a,b \in \Z$ が存在する。この時、 $\frac{1}{\mathrm{LCM}(m,n)} = \frac{d}{mn} = \frac{b}{m} + \frac{a}{n}$ となる。 よって、 $\zeta_{\mathrm{LCM}(m,n)} = \zeta_m^b \zeta_n^a$ と書けるので、 $\Q(\zeta_n, \zeta_m) \supset \Q(\zeta_{\mathrm{LCM}(m,n)})$ となる。
中国の剰余定理により $\Z/(mn) \simeq \Z/(m) \times \Z/(n)$ であるので $(\Z/(mn))^\times \simeq (Z/(m))^\times \times (Z/(n))^\times$ となる。よって、Galois理論(58)―円分拡大の例 - らんだむな記憶より $\mathrm{Gal}(\Q(\zeta_{mn})/\Q) \simeq \mathrm{Gal}(\Q(\zeta_{m})/\Q) \times \mathrm{Gal}(\Q(\zeta_{n})/\Q)$ となることが分かる。故にGalois理論(67)―ガロア拡大における線型無関連性(3) - らんだむな記憶のProp (2)を適用して線型無関連性を得る。
