$V$ を有限次元ベクトル空間とする。$A: V \to V$ を正則行列とする。$V^\prime \subsetneq V$ を部分空間とし、$A$-不変であるとする。
$\dim V^\prime = k < n = \dim V$ とし、$e_1, \cdots, e_k$ を $V^\prime$ の基底とする。これを拡張して $e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}, \cdots, e_n$ を $V$ の基底とできる。この基底に関して $A$ を行列表現すると、
\begin{align*}
A (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}, \cdots, e_n) = (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}, \cdots, e_n) \begin{pmatrix}
A_1 & B \\
0 & C
\end{pmatrix}
\tag{1}
\end{align*}
となる。ここで $A_1$ は $k \times k$ 行列で、$C$ は $(n-k) \times (n-k)$ 行列である。
\begin{align*}
0 \neq \det (A) = \det \begin{pmatrix}
A_1 & B \\
0 & C
\end{pmatrix}
= \det(A_1) \det(C)
\end{align*}
なので、$A_1$ と $C$ は可逆であり、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A_1 & B \\
0 & C
\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}
A_1^{-1} & -A_1^{-1}BC^{-1} \\
0 & C^{-1}
\end{pmatrix}
\end{align*}
のように計算できる。よって、(1) 式に左から $A^{-1}$ を右から $\begin{pmatrix}
A_1 & B \\
0 & C
\end{pmatrix}^{-1}$ をかけると
\begin{align*}
A^{-1} (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}, \cdots, e_n) = (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}, \cdots, e_n) \begin{pmatrix}
A_1^{-1} & -A_1^{-1}BC^{-1} \\
0 & C^{-1}
\end{pmatrix}
\end{align*}
となることがわかる。このことから、$V^\prime$ が $A^{-1}$-不変でもあることがわかる。
