不変部分空間 - らんだむな記憶 を続ける。補題を一つ用意する。
補題
$A$ を正則行列とする。$V^\prime$ を $A$-不変なベクトル空間とする。この時、$\mathrm{Ran}(A|_{V^\prime}) = V^\prime$
証明 $e_1, \cdots, e_k$ を $V^\prime$ の基底とすると、$A e_1, \cdots, A e_k$ は $V^\prime$ の $k$ 個の一次独立なベクトル、従って基底である。これは $\sum \alpha_i A e_i = 0$ に左から $A^{-1}$ をかけることで示される。${}_\blacksquare$
次に $V$ を内積空間とし、$A = U$ が特にユニタリ行列の時には更に興味深いことが言える。
$V^\prime$ の直交補空間を $V^{\prime\prime}$ とする。$v^\prime \in V^\prime$, $v^{\prime\prime} \in V^{\prime\prime}$ をとる。
\begin{align*}
\braket{v^\prime, U v^{\prime\prime}} = \braket{U^* v^\prime, v^{\prime\prime}} = \braket{U^{-1} v^\prime, v^{\prime\prime}}
\end{align*}
であるが、前回の主張より、$V^\prime$ は $U^{-1}$-不変であったので、補題より $v^\prime$ を $V^\prime$ 全域で動かすと $U^{-1} v^\prime$ も $V^\prime$ 全域にわたる。よって、$U v^{\prime\prime} \in V^{\prime\prime}$ 従って、$V^{\prime\prime}$ は $U$-不変であることがわかった。
つまり、$V$ は $V^\prime$ と $V^{\prime\prime}$ という 2 つの $U$-不変な部分空間に直和分解されることがわかった。特に $e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}\cdots, e_n$ を（正規）直行なようにとっておくと、$U$ の行列表現は
\begin{align*}
U (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}\cdots, e_n) = (e_1, \cdots, e_k, e_{k+1}\cdots, e_n) \begin{pmatrix}
U_1 & 0 \\
0 & U_2
\end{pmatrix}
\end{align*}
という形になる。
もし $V^\prime$ 或は $V^{\prime\prime}$ が $U$-不変な部分空間を含む場合、同じ手続きによって $V$ はより小さな部分空間たちの直和への分解できる。いわゆる有限次元ユニタリ表現の完全可約性である。
