Prop
(1)$G$: 可解群, $H \subset G$: 部分群 $\Rightarrow$ $H$: 可解群
(2)$G$: 可解群, $H \triangleleft G$ $\Rightarrow$ $G/H$: 可解群
proof
(1)$G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_{r-1} \supset G_r = \{e\}$ をフィルトレーションとする。
この時、 $\{G_i \cap H\}$ が $H$ のフィルトレーションを与える。
$G_i \cap H$ が $G$ の部分群であるのは明らかである。 $g \in G_{i-1} \cap H$ を任意にとる。 $h \in G_i \cap H$ をとると、 $ghg^{-1} \in G_i$ が $\{G_i\}$ が $G$ のフィルトレーションであることから従う。また、 $ghg^{-1} \in H$ がすべての元が $H$ の元であることから従う。よって $g(G_i \cap H)g^{-1} \subset G_i \cap H,\ \forall\,g \in G_{i-1} \cap H$ が示された。故に $G_{i-1} \cap H \triangleright G_i \cap H$ である。 $G_{i-1} \cap H/G_i \cap H$ の可換性は $G_{i-1}/G_i$ のそれより従う。
(2)自然な射影 $\pi: G \to G/H$ をとる。 $(G/H)_i := \pi(G_i)$ が $G/H$ のフィルトレーションを与える。
