Prop (1)冪根拡大体同士の合成体は再び冪根拡大である。 (2)$L/K$: (有限次)冪根拡大とする。この時、ある $K$ 上の有限次ガロア拡大 $E \supset L$ がとれて冪根拡大となる。 proof (1)$L_1 = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$, $L_2 = K(\beta_1,\cdots,\beta…

$K$: 標数0の体とする。 Def $E/K$: 有限次拡大が冪根拡大である或は代数的に解ける*1とは、ある $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ がとれて $E=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$ と書け、またある $n_i \in \N$ に対して $\alpha_i^{n_i} \in K(\alpha_1,\cdots,\al…

例 $\zeta_n = \exp(2\pi i/n)$ とする。 $\Q(\zeta_n) \Q(\zeta_m) = \Q(\zeta_n, \zeta_m) = \Q(\zeta_{\mathrm{LCM}(m,n)})$ となる。 $(m,n) = 1$ の時、 $\Q(\zeta_n)$ と $\Q(\zeta_m)$ は $\Q$ 上線型無関連である。この時、特に $\Q(\zeta_n, \zeta_…