$L/K$ をガロア拡大とし $[L:K] = n$ とする。今度は $n = \mathrm{char}(K)$ の場合を考える。(Kummer 拡大の時には $(\mathrm{char}(K),n)=1$ を考えていた。)
このケースでのガロア拡大は特にArtin-Schreier 拡大と呼ばれる。
Theorem
$p = \mathrm{char}(K)$ とする。 $P(X) = X^p - X - a \in K[X]$ とおく。
この時、
(1) $P$ は既約であるか(可約であって)分解する。
(2a) $P$ が既約の時、 $\alpha$ を $P$ の根とすると $K(\alpha)/K$ は $p$ 次の巡回拡大である。
(2b) 逆に、任意の $p$ 次の巡回拡大 $L/K$ はある $\alpha \in L$ に対して $L = K(\alpha)$ と書ける。特に $\alpha$ は $X^p - X - a,\ a \in K$ の根である。
Remark
$P$ の根はその1つの根 $\alpha$ を固定する時、 $\alpha + k,\ k \in \mathbb{F}_p$ と書ける。実際、 $\alpha + k,\ k \in \bar{K}$ を根とする時、 $0 = (\alpha + k)^p - (\alpha + k) - a =(\alpha^p - \alpha - a) + (k^p - k)$ より $k^p = k$ となる。逆に $\alpha + k,\ k \in \mathbb{F}_p$ は相異なる $p$ 個の根を定める。
proof of Theorem
(1)$P$ の根 $\alpha$ を 1つとり固定する。 $f = P_\min(\alpha,K)$ とおく。 $f(X) = f(X+1) \Rightarrow P$: 既約, $f(X) \neq f(X+1) \Rightarrow P$: 可約を見る。
$f(X) = f(X+1)$ とする。この時、 $f(X) = f(X+1) = \cdots = f(X + p - 1)$ であり、 $f$ は相異なる $p$ 個の根 $\alpha,\alpha+1,\cdots,\alpha+p-1$ を持つ。よって、 $\deg(f) = p$ であり、 $f|P$ であるので $f=P$となる。よって $P$ は既約である。
次に $f(X) \neq f(X+1)$ とする。ところで、Fermat の小定理により $f(X+i) | P(X+i) = (X+i)^p - (X+i) - a = X^p - X - a = P(X),\ 0 \le i < p$ であるので、$\prod_{0 \le i < p}f(X+i) | P$ となる。これが成立するには $\deg(f) = 1$ である必要があり、従って $f(X) = X + b \in K[X]$ の形である。よって $0 = f(\alpha) = \alpha + b$ より、 $\alpha = -b \in K$ である。故に $P(X) = \prod_{0 \le i < p}(X+b+i)$ となるので、可約でありかつ $K[X]$ で分解する。
以上より、 $f(X) = f(X+1) \iff P$: 既約 (or $f(X) \neq f(X+1) \iff P$: 可約かつ1次式の積に分解する)が分かった。*1
(2a)$P^\prime(X) = -1$ であり $(P,P^\prime) = 1$ であるので $\alpha$ は $K$ 上分離的である。よって $L = K(\alpha)$ として $L/K$ はガロア拡大である。
Galois理論(41)―ガロア拡大 - らんだむな記憶を思い出すと、ガロア群は $K[X]$ の任意の既約多項式の根上に推移的に作用するのであった。よって、ある $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ がとれて $\sigma(\alpha) = \alpha + 1$ とできる。*2
$\sigma^p(\alpha) = \alpha,\ \sigma^i(\alpha) \neq \alpha \text{ for } i < p$ であるので、 $\sigma$ の位数は $p$ である。また、 $\#( \mathrm{Gal}(L/K) ) = [L:K] = p$ であることから、 $\mathrm{Gal}(L/K) = \langle \sigma \rangle$ が従う。
(2b)$\mathrm{Gal}(L/K) = \langle \sigma \rangle$ とする時、 $\alpha \in L$ で $\sigma(\alpha) = \alpha + 1$ となるものを探す。
念のため、Galois理論(40)―正規拡大 - らんだむな記憶より、 $\sigma:L \to L$ であることを思い出しておく。
$F = \sigma - id$ とおく。これは $L$ 上の $K$-線型写像と見ることもできる。 $\mathrm{Ker}(F) = K$ であって、直和分解より $\mathrm{rank}(F) = p - 1$ である。*3
一方、 $F^p = (\sigma - id)^p = \sigma^p - id^p = id - id = 0$ であるので、 $\mathrm{Ker}(F) \cap \mathrm{Im}(F) \neq \{0\}$ である。もしそうでないとする:
仮定より、 $\mathrm{Ker}(F) \oplus \mathrm{Im}(F) \subset L$ であるが $p = \dim(\mathrm{Ker}(F) ) + \dim(\mathrm{Im}(F) )$ であり、 $[L:K] = \#( \mathrm{Gal}(L/K) ) = p$ であり、次元の比較より $L = \mathrm{Ker}(F) \oplus \mathrm{Im}(F)$ である。
この時、$\mathrm{Im}(F) = F(L) = 0 \oplus F(\mathrm{Im}(F)) = \mathrm{Im}(F^2)$ であるので、 $\mathrm{Im}(F) = \mathrm{Im}(F^2) = \cdots = \mathrm{Im}(F^k) = \cdots$ が成立し、 $F^p \neq 0$ となり矛盾する。
よって、 $\mathrm{Ker}(F) = K$ に注意して $K \cap \mathrm{Im}(F) \neq \{0\}$ が分かった。 $K \cap \mathrm{Im}(F)$ もまたベクトル空間であるので共通部分に入る $K$ の元のスカラー倍を考えることで、そもそも $K \subset \mathrm{Im}(F)$ 、特に $1 \in \mathrm{Im}(F)$ が分かる。
よって、ある $\alpha \in L$ は $F(\alpha) = 1$ を満たすが、 $F$ の定義に戻ると $\sigma(\alpha) - \alpha = 1$ であり、冒頭で求めたかった元が見つかった。
さて、 $\sigma(\alpha^p - \alpha) = \sigma(\alpha)^p - \sigma(\alpha) = (\alpha+1)^p - (\alpha+1) = \alpha^p - \alpha$ である。よって、 $\alpha^p - \alpha \in L^{\langle \sigma \rangle} = K$ である。 $K \ni a = \alpha^p - \alpha$ と置くと、 $\alpha$ は $X^p - X -a \in K[X]$ の根となる。
$\sigma(\alpha) \neq \alpha$ であったので、 $\alpha \in L\backslash K$ であり、 $P(X) = X^p - X -a$ は $K[X]$ で分解しないので(1)より既約である。よって、 $P$ は $\alpha$ の最小多項式であり、 $K \subset K(\alpha) \subset L$ を考えると、 $[L:K] = [L:K(\alpha)][K(\alpha):K]$ より $[L:K(\alpha)] = 1$ となるので、 $L = K(\alpha)$ である${}_\blacksquare$
