以下で、巡回拡大(ガロア拡大であってかつそのガロア群が巡回群)の場合のKummer拡大について見る。「体とガロア理論」で言うと§3.6が該当する。(もっと一般的なケースは§3.16で扱われる)
$n$: ある自然数を固定し、 $K$: 体を $(\mathrm{char}(K),n) = 1$ とする。また、 $X^n - 1$ が $K$ で分解するとする。($\zeta_n^i \in K, 1 \le i \le n - 1$)
$0 \neq a \in K$ をとり、 $\alpha = \sqrt[n]{a}$ とおく($X^n - a$ の根であり、 $K$ の代数的閉包の中に存在する)。 $d = \min\{i; \alpha^i \in K\}$ とおく。
Prop
$d|n$ とする。この時、 $P_\min(\alpha,K) = X^d-\alpha^d$ であり、 $K(\alpha)/K$ はガロア拡大となる。またそのガロア群は位数 $d$ の巡回群である。
proof
1の原始 $n$ 乗根を $\zeta_n$ とする時、$X^n-a$ は $K(\alpha)$ で $\prod_{0 \le i \le n -1}(X-\alpha\zeta_n^i)$ と分解するので、 $K(\alpha)$ は $X^n - a$ の最小分解体である。よって、 $K(\alpha)/K$ は正規拡大である。
また、 $(X^n-a,n X^{n-1}) = 1$ であって $P_\min(\alpha,K) | X^n - a$ であるので、 $K(\alpha)/K$ は分離拡大であり、従ってガロア拡大となる。
次に、 $g(\alpha),\ g \in \mathrm{Gal}(K(\alpha)/K)$ は再び $X^n - a$ の根であることを考慮し、以下のような写像を考える。
\begin{array}{cccc}
f: & \mathrm{Gal}(K(\alpha)/K) & \to & \mu_n \\
& g & \mapsto & \frac{g(\alpha)}{\alpha}
\end{array}
$g(\alpha) = h(\alpha) \iff g = h$ を考えると、 $f$ は単射であることが分かる。
$f$ 自身は群準同型とは限らないが、その集合としての像は群構造を持っている。よって $\mathrm{Im}(f) \subset \mu_n$ は巡回群の部分群となり、従って巡回群である。 $\delta$ を $\mathrm{Im}(f)$ の位数とする。特に、 $\delta = \#(\mathrm{Gal}(K(\alpha)/K))$ である。
以下で、 $\delta = d$ であることを確認する。
写像の定義により $g(\alpha^\delta) = f(g)^\delta \alpha^\delta$ である。 $f(g)$ は巡回群の元であり、 $\delta$ はその巡回群の位数であるので $f(g)^\delta = 1$ である。よって $g(\alpha^\delta) = \alpha^\delta$ となる。従って、 $\alpha^\delta \in K$ となり、 $d$ の定義より $\delta \ge d$ である。
ところで、 $\alpha^i \not\in K,\ i < \delta$ である。そうでないとすると、 $P_\min(\alpha,K) | X^i - \alpha^i$ となり、 $\deg(P_\min(\alpha,K)) < \delta$ となるが、Galois理論(41)―ガロア拡大 - らんだむな記憶より、 $\delta > [K(\alpha):K] = \#(\mathrm{Gal}(K(\alpha)/K) ) = \delta$ であるので、矛盾する。
よって、 $\delta \le d$ であるが、 $\delta \ge d$ であったので、 $\delta = d$ となる。
$X^d-\alpha^d = \prod_{0 \le i \le d-1} (X-\alpha\zeta_d^i)$ であるが、 $d|n$ より $\zeta_d \in \mu_n$ である。よって、 $X^d - \alpha^d|X^n - a$ である。ところで、 $X^d-\alpha^d$ が可約とすると、ある $\prod_{i \in I} (X-\alpha\zeta_d^i)$ をproperな因子に持つが、その定数項は $\alpha^{|I|} \prod \zeta_d^i$ となる。この因子が $K[X]$ に入るには $|I| \ge d$ でなければならず、この因子は $X^d - \alpha^d$ であることになり矛盾する。よって $X^d - \alpha^d$ は既約であり、 $P_\min(\alpha,K)$ である${}_\blacksquare$
Remark
上記Propの拡大体 $K(\alpha)/K$ はKummer拡大の一例である。
