$K$: 標数0の体とする。
Def
$E/K$: 有限次拡大が冪根拡大である或は代数的に解ける*1とは、ある $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ がとれて $E=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$ と書け、またある $n_i \in \N$ に対して $\alpha_i^{n_i} \in K(\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1}),\ 1 \le i \le n$ が成立する時を言う${}_\square$
例
・$\Q\left(\sqrt[3]{2 + 3 \sqrt{7}}\,\right)$ ($K = \Q$)
→ $\alpha_1 = \sqrt{7}$, $\alpha_2 = \sqrt[3]{2 + 3 \sqrt{7}}$ として、 $\Q(\sqrt{7}) = \Q(2 + 3\sqrt{7})$ より従う。
・$\Q\left(\sqrt[3]{2 + 3 \sqrt{7}}, \sqrt[5]{4 + 5 \sqrt{11}}\,\right)$ ($K = \Q$)
→ $\alpha_1 = \sqrt{7}$, $\alpha_2 = \sqrt{11}$, $\alpha_3 = \sqrt[3]{2 + 3 \sqrt{7}}$, $\alpha_4 = \sqrt[3]{2 + 3 \sqrt{7}}$ として $\Q(\sqrt{7},\sqrt{11}) = \Q(2 + 3 \sqrt{7}, 4 + 5 \sqrt{11})$ より従う。
Def
$P \in K[X]$ が代数的に解けるとは、ある $E/K$: 冪根拡大がとれて、 $P$ のすべての根が $E$ に含まれる時を言う。(“方程式 $P=0$ が代数的に解ける” と言う)${}_\square$
*1:solvable by radicals
