Galois理論(59)―Kummer拡大(1) - らんだむな記憶の逆を述べる。
Prop
任意の位数 $n$ の巡回拡大 $L/K$ が $(\mathrm{char}(K),n) = 1$ を満たす時、ある $a \in K$ に対して $L = K(\sqrt[n]{a})$ となる。
proof
$\mathrm{Gal}(L/K) = \langle \sigma \rangle$ とする。仮定より $\sigma^n = id$ である。
Galois理論(41)―ガロア拡大 - らんだむな記憶より、 $[L:K] = \#( \mathrm{Gal}(L/K) ) = n$ であるので、 $L$ は $n$ 次元 $K$-ベクトル空間であり、 $\sigma$ はその上の線型写像であり可逆である。 $f(x) = x^n - 1$ を考えると、 $f(\sigma) = 0$ であるので、 $\sigma$ の最小多項式は $f$ の因子であるが、 $(x^n-1,n x^{n-1}) = 1$ より最小多項式は重根を持たない。よって、 $\sigma$ は対角化可能である。*1
また、 $\sigma^n = id$ より各固有値の $n$ 乗は1であり、特に固有値は0ではない。
次に、 $\sigma$ のすべての固有空間は次元1であることを見よう。 $0 \neq x,y \in L$ を同じ固有空間に属するベクトルとする。 $\sigma(x/y) = \sigma(x)/\sigma(y) = x/y$ であるので、 $x/y \in L^{\mathrm{Gal}(L/K)} = K$ となる。よって、 $x$ は $y$ のスカラー倍のみであるので固有空間の次元は1である。
固有値は $n$ 乗して1即ち $\mu_n$ の元であったが、各固有空間の次元が1であり固有空間の直和が $n$ 次元の全空間になる(対角化可能の同値条件)ことから、 $\mu_n$ のすべての値が固有値になる。
$\zeta \in \mu_n$ を原始根とすると、これは固有値であるのでその固有ベクトル $\alpha \in L$ をとる。即ち $\sigma(\alpha) = \zeta \alpha$ とする。
この時、 $\alpha$ の $\langle \sigma \rangle$-軌道は $O_{\langle \sigma \rangle}(\alpha) = \{\alpha, \zeta\alpha, \cdots \zeta^{n-1}\alpha \}$ であり $n$ 個の元からなる。
$K \subset F = K(\alpha) \subset L$ を考える。
Galois理論(42)―ガロア群とArtinの定理 - らんだむな記憶より、 $F^{\langle \sigma \rangle} = K$ に注意すると、上記のように $\langle \sigma \rangle$ の $K(\alpha)$ への作用で現れる $\langle \sigma \rangle$-軌道は有限軌道であるので $K(\alpha)/K$ はガロア拡大であり $[K(\alpha):K] = \#\langle \sigma \rangle = n$ である。*2
$\sigma(\alpha^n) = (\zeta \alpha)^n = \alpha^n$ であるので、 $\alpha^n \in L^{\mathrm{Gal}(L/K)} = K$ である。よって、 $a = \alpha^n \in K$ とおくと、 $\alpha$ は $X^n - a$ の根である。
$[L:K] = [L:K(\alpha)][K(\alpha):K]$ より $[L:K(\alpha)] = 1$ であるので $L=K(\alpha)$ であり、 $P_\min(\alpha,K)|X^n - a$ であるが、一方 $n = [L:K] = \deg(P_\min(\alpha,K))$ より $P_\min(\alpha,K) = X^n - a$ である${}_\blacksquare$
Remark
$\# O_{\langle \sigma \rangle}(\alpha) = n \Rightarrow [K(\alpha):K] = n$ のためにArtinの定理を持ち出す必要はない。まず、$K \subset K(\alpha) \subset L$ かつ $[L:K] = n$ より $[K(\alpha):K] \le n$ である。また、ガロア対応により部分群 $H \subset \langle \sigma \rangle$ により、 $K(\alpha) = L^H$ と書ける。 $H \neq \{id\}$ とすると、少なくともある $\sigma^i \in H$ によって $\alpha$ は固定されるので $\sigma^i(\alpha) = \alpha$ であり、 $O_{\langle \sigma \rangle}(\alpha) = \{\alpha, \sigma(\alpha), \cdots \sigma^{n-1}(\alpha) \}$ は $n$ より小さい個数の元からなる。一方、既に見たように実際には $n$ 個の元からなり矛盾するので $H = \{id\}$ であり、よって $L = K(\alpha)$ であることが従う。
