Galois理論(65)―ガロア拡大における線型無関連性(1) - らんだむな記憶の仮定から「有限次」を落とすことができる。「体とガロア理論」§3.3 定理3.14が相当する。
Theorem
$K \subset L_1,L_2 \subset \bar{K}$ とし、 $L_1/K$: ガロア拡大とする。 $K^\prime = L_1 \cap L_2$ とおく。
この時、 $L_1 L_2 / L_2$: ガロア拡大であり、 $\mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2)$ は $L_1$ を固定する。
写像
\begin{array}{cccc}
\varphi: & \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) & \to & \mathrm{Gal}(L_1/K) \\
& g & \mapsto & g|_{L_1}
\end{array}
は well-defined であり、単射である。また、 $\varphi\left( \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) \right) = \mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ であり、 $L_1$ と $L_2$ は $K^\prime$ 上線型無関連である。
proof
Galois理論(65)―ガロア拡大における線型無関連性(1) - らんだむな記憶と同じ議論で $L_1 L_2/L_2$ はガロア拡大であることが従い、 $\varphi$ が well-defined で単射であることが分かる。
次に $K \subset L_1^\prime \subset L_1$ なる有限次中間体をとる。 $L_1^\prime/K$ の基底を $\alpha_1,\cdots,\alpha_n \in L_1$ とする時、 $S = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ と置くと、 $L_1^\prime \subset K(S)$ である。よって、 $L_1^\prime$ は $S$ の部分集合で生成される。実際には、 $L_1^\prime = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$ であるとする。この時、 $\alpha_j \in L_1,\ 1\le j \le m $ であるので、 $P_\min(\alpha_j,K)$ は分離的であり、その根はすべて $L_1$ に含まれる。この根を $\alpha_{j_1},\cdots,\alpha_{j_r}$ とすると、 $L_1^{\prime\prime} = K(\alpha_{1_1},\cdots,\alpha_{1_r},\cdots,\alpha_{m_1},\cdots,\alpha_{m_r}) \subset L_1$ は $K$ 上有限次の分離かつ正規拡大であるので、従って有限次ガロア拡大になる。
$K^\prime = L_1 \cap L_2$ とおいて、 $\beta_1,\cdots,\beta_r \in L_1$ が $K^\prime$ 上線型独立とする。 $K(\beta_1,\cdots,\beta_r) \subset L_1$ は $K$ 上の有限次拡大である。よって上で見たことにより、 $K \subset K(\beta_1,\cdots,\beta_r) \subset L_1^{\prime\prime} \subset L_1$ なる $L_1^{\prime\prime}/K$: 有限次ガロア拡大が存在する。
よって、補題より $L_1^{\prime\prime} \cap L_2$ 上 $L_1^{\prime\prime}$ と $L_2$ は線型無関連である。 ここで $\beta_1,\cdots,\beta_r \in L_1^{\prime\prime}$ であることに注意する。これは $L_1 \cap L_2$ 上線型独立であったが、 $L_1^{\prime\prime} \cap L_2 \subset L_1 \cap L_2$ であるので、 $L_1^{\prime\prime} \cap L_2$ 上でも線型独立である。Galois理論(63)―線型無関連な拡大 - らんだむな記憶の Thm (c) を用いると、 $\beta_1,\cdots,\beta_r$ は $L_2$ 上線型独立であることが従う。再び Thm (c) より、 $K^\prime$ 上 $L_1$ と $L_2$ が線型無関連であることが従う。
$\mathrm{Im}(\varphi) \subset \mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ は自明なので、 $\varphi$ が全射であることを見る。 $\gamma \in \mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ を任意にとる。Galois理論(62)―合成拡大 - らんだむな記憶より $j(L_1 \otimes_K L_2) = L_1 L_2$ であった。先ほど見た線型無関連性により $j$ は単射であり、 $j \circ (\gamma \otimes id_{L_2}) \circ j^{-1} \in \mathrm{Aut}(L_1 L_2)$ を考えることができる。
$j \circ (\gamma \otimes id_{L_2}) \circ j^{-1}(\ell_1) = j \circ (\gamma(\ell_1) \otimes id_{L_2}(1)) = j \circ (\gamma(\ell_1) \otimes 1) = \gamma(\ell_1)$ であるので、 $\varphi(j \circ (\gamma \otimes id_{L_2}) \circ j^{-1}) = j \circ (\gamma \otimes id_{L_2}) \circ j^{-1}|_{L_1} = \gamma$ である。よって $\varphi$ は全射であり、 $\mathrm{Im}(\varphi) = \mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ が分かった${}_\blacksquare$
