Prop
(1)冪根拡大体同士の合成体は再び冪根拡大である。
(2)$L/K$: (有限次)冪根拡大とする。この時、ある $K$ 上の有限次ガロア拡大 $E \supset L$ がとれて冪根拡大となる。
proof
(1)$L_1 = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$, $L_2 = K(\beta_1,\cdots,\beta_s)$ を冪根拡大とする。 $L_1 L_2 \subset K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \beta_1,\cdots,\beta_s)$ であるが、 $R = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}$, $S = \{\beta_1,\cdots,\beta_s\}$ と置くと、共に $K(R \cup S)$ であるので、 $L_1 L_2 = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \beta_1,\cdots,\beta_s)$ である。
$\alpha_1^{n_1} \in K$, $\beta_1^{n_2} \in K(\alpha_1)$, $\alpha_2^{n_3} \in K(\alpha_1, \beta_1)$, ... と交互に見ていくことで、 $L_1 L_2$ も冪根拡大であることが分かる。
(2)Galois理論(40)―正規拡大 - らんだむな記憶より $\bar{K}/K$ は正規拡大であり、ガロア拡大である。 $G = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ と置いて合成体 $E = K\left(\bigcup_{\varphi \in G}\varphi(L)\right)$ を考える。
$\varphi \in G$ を固定する時 $\varphi(L)$ は冪根拡大である。というのも、 $L = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ とする。 $\alpha_1^{n_1} \in K$ より $\varphi(\alpha_1)^{n_1} = \varphi(\alpha_1^{n_1}) = \alpha_1^{n_1} \in K$ である。 $\varphi(\alpha_2)^{n_2} = \varphi(\alpha_2^{n_2}) \in \varphi(K(\alpha_1)) \subset K(\varphi(\alpha_1))$ となる。同様に繰り返して、 $\varphi(\alpha_i)^{n_i} \in K\left(\varphi(\alpha_1),\cdots,\varphi(\alpha_{i-1})\right)$ を得る。
$\varphi(\alpha_j)$ は $P_\min(\alpha_j,K)$ の根であるので、 $\varphi(L)$ は $K$ に $P_\min(\alpha_j,K)$ の根を適当に $n$ 個付与して作った体であるにすぎない。このパターンは高々有限個であり、 $\bigcup_{\varphi \in G}\varphi(L)$ も実は有限個の合併にすぎない。よって、 $E$ は(1)より冪根拡大である。また、 $E$ は $K$ に $P_\min(\alpha_j,K)$ のすべての根を付与した体なので有限次拡大である。また、素体が標数0であるので分離拡大である。また、作り方より $E$ は $P_\min(\alpha_j,K)$ の分解体すなわち正規拡大体同士の合成体であるがGalois理論(62)―合成拡大 - らんだむな記憶より合成体も正規拡大である。よって、 $E$ はガロア拡大である${}_\blacksquare$
