以下の補題は「体とガロア理論」§3.3 補題3.2が相当する。
Lemma
$K \subset L_1,L_2 \subset \bar{K}$ とし、 $L_1/K$: 有限次ガロア拡大とする。 $K^\prime = L_1 \cap L_2$ とおく。
この時、 $L_1 L_2 / L_2$: 有限次ガロア拡大であり、 $\mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2)$ は $L_1$ を固定(stabilize)する。*1
写像
\begin{array}{cccc}
\varphi: & \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) & \to & \mathrm{Gal}(L_1/K) \\
& g & \mapsto & g|_{L_1}
\end{array}
は well-defined であり、単射である。また、 $\varphi\left( \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) \right) = \mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ であり、 $L_1$ と $L_2$ は $K^\prime$ 上線型無関連である。
proof
Galois理論(62)―合成拡大 - らんだむな記憶より、 $L_1/K$ の有限性, 正規性, 分離性が $L_1 L_2/L_2$ にも伝わるので、 $L_1 L_2/L_2$ は有限次ガロア拡大である。
$\alpha \in L_1$ と $g \in \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2)$ をとる。
$g(\alpha)$ は $P_\min(\alpha, L_2)$ の根である。また $P_\min(\alpha, K)$ の根でもある。($g$ は $L_2$ も $K$ も固定する。)
一方、 $P_\min(\alpha, K)$ の根は $L_1$ で分解するので(Galois理論(40)―正規拡大 - らんだむな記憶)、 $g(\alpha) \in L_1$ となる。
またこのことから写像 $\varphi$ が well-defined であることも従う。
$\sigma \in \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2)$ が $\sigma|_{L_1} = id$ である時、 $\sigma$ 自身は $L_2$ を固定するので、 $\sigma|_{L_2} = id$ でもある。よって、 $L_1 L_2$ の元も固定するので、 $\sigma = id$ である。故に、 $\varphi$ は単射である。
次に $\mathrm{Im}(\varphi)$ を確認する。 $\varphi$ の単射性により $\mathrm{Im}(\varphi)$ は群である。 $G = \mathrm{Im}(\varphi) = \{g|_{L_1};\ g \in \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) \}$ とおく。 $G \subset \mathrm{Gal}(L_1/K)$ でもあることに注意する。よって $G$ はガロア群の部分群である。
$\alpha \in L_1 L_2$ が任意の $g \in \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2)$ に対して $g(\alpha) = \alpha$ であるとする。この時、 $\alpha \in (L_1 L_2)^{\mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2)} = L_2$ が従う。*2
特に、 $g|_{L_1}$ を考えるために $\alpha \in L_1 (\subset L_1 L_2)$ に制限すると、 $\alpha \in L_1 \cap L_2 = K^\prime$ となる。逆に、 $\alpha \in K^\prime$ は $\alpha \in L_2$ でもあるので $g|_{L_1}(\alpha) = g(\alpha) = \alpha$ となる。よって、 $L_1^G = K^\prime$ である。従ってガロア対応により $G = \mathrm{Gal}(L_1/L_1^G) = \mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ である。
$\varphi\left( \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) \right) = \mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ より $\#\mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) = \#\mathrm{Gal}(L_1/K^\prime)$ であるが、それぞれ $\#\mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) = [L_1 L_2:L_2]$, $\#\mathrm{Gal}(L_1/K^\prime) = [L_1:K^\prime]$ であるので $[L_1 L_2:L_2] = [L_1:K^\prime]$ である。よってGalois理論(63)―線型無関連な拡大 - らんだむな記憶のTheorem (e)により $L_1$ と $L_2$ は $K^\prime$ 上線型無関連である${}_\blacksquare$
*1:$G = \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2)$ は $L_1 L_2$ に作用するが $L_1 \subset L_1 L_2$ に対して、 $Z_{G}(L_1) := \{ g \in \mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2);\ g \cdot L_1 = L_1 \}$ と置くと、実は $\mathrm{Gal}(L_1 L_2/L_2) = Z_{G}(L_1)$ であり、自身が $L_1$ の固定化部分群(stabilizer) であると見ることもできる。 $g\cdot L_1 \subset L_1$ が示されると、$g \cdot (g^{-1} \cdot \ell_1) = \ell_1$ より作用が推移的であることも分かる。
