$i_1,\cdots,i_n,j_1,\cdots,j_n \in \{0,1\}$ の時、
$$
\begin{align*}
\ket{i_1}\bra{j_1} \otimes \cdots \otimes \ket{i_n}\bra{j_n} = \ket{i_1\cdots i_n}\bra{j_1\cdots j_n}
\end{align*}
$$
を示したい。
つまりケットブラで作れる “行列単位” は $\ket{0}\bra{0}$, $\ket{0}\bra{1}$, $\ket{1}\bra{0}$, $\ket{1}\bra{1}$ のテンソル積に分解できることを見たい。
また、後述の補題 2 より任意の行列単位は一意に “主張の右辺” の形に書けるので、小さな 2x2 の行列単位のテンソル積に分解できることになる。
準備
行列単位
$(a,b)$-成分のみ 1 で他は 0 であるような行列単位 $E^{ab}$ を考える。
$$
\begin{align*}
E^{ab} = \begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
ここで、行列は $n$ 次正方行列とし、これを明示するために、$E_n^{ab}$ という記号を導入してみる。
記号 $d(i_1,\cdots,i_n)$
$i_1\cdots i_n$ という 2 進数がある時に、
$$
\begin{align*}
d(i_1,\cdots,i_n) = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k i_{n-k}
\end{align*}
$$
で対応する 10 進数を定めたい。要するに、0b1010 に対しては $d(1,0,1,0) = 10$ という解釈である。
補題 1
行列単位同士のテンソル積は
$$
\begin{align*}
E_n^{ab} \otimes E_m^{cd} = E_{nm}^{(a-1)m+c,(b-1)m+d}
\end{align*}
$$
補題 2
直接計算で $i,j \in \{0,1\}$ に対して $\ket{i}\bra{j} = E_2^{i+1,j+1} = E_2^{d(i)+1,d(j)+1}$ がわかる。
また、$\ket{i_1\cdots i_n} = (0 \cdots 1 \cdots 0)^T$ のように縦ベクトル表示をした時に 1 になる箇所が $d(i_1,\cdots,i_n)+1$ 番目であることに注意すれば、一般に以下も分かる。
$$
\begin{align*}
\ket{i_1\cdots i_n}\bra{j_1\cdots j_n} = E_{2^n}^{d(i_1,\cdots,i_n)+1,d(j_1,\cdots,j_n)+1}
\end{align*}
$$
主張の証明
更に直接計算で、$i_1,j_1,i_2,j_2 \in \{0,1\}$
に対して以下が示せる。
$$
\begin{align*}
\ket{i_1}\bra{j_1} \otimes \ket{i_2}\bra{j_2} &= E_2^{i_1+1,j_1+1} \otimes E_2^{i_2+1,j_2+1} \\
&= E_4^{2i_1+i_2+1,2j_1+j_2+1} \\
& = E_4^{d(i_1,i_2)+1,d(j_1,j_2)+1} \\
& = \ket{i_1 i_2}\bra{j_1 j_2}
\tag{1}
\end{align*}
$$
これを拡張して、
$$
\begin{align*}
\ket{i_1}\bra{j_1} \otimes \cdots \otimes \ket{i_n}\bra{j_n} = \ket{i_1\cdots i_n}\bra{j_1\cdots j_n}
\end{align*}
\tag{2}
$$
を示したい。$n$ で成立しているとすると補題より、
$$
\begin{align*}
&\ \ket{i_1}\bra{j_1} \otimes \cdots \otimes \ket{i_n}\bra{j_n} \otimes \ket{i_{n+1}}\bra{j_{n+1}} \\
=&\ \ket{i_1\cdots i_n}\bra{j_1\cdots j_n} \otimes \ket{i_{n+1}}\bra{j_{n+1}} \\
=&\ E_{2^n}^{d(i_1,\cdots,i_n)+1,d(j_1,\cdots,j_n)+1} \otimes E_2^{d(i_{n+1})+1,d(j_{n+1})+1} \\
=&\ E_{2^{n+1}}^{2d(i_1,\cdots,i_n)+d(i_{n+1}),2d(j_1,\cdots,j_n)+d(j_{n+1})} \\
=&\ E_{2^{n+1}}^{d(i_1,\cdots,i_{n+1}),d(j_1,\cdots,j_{n+1})} = \ket{i_1\cdots i_{n+1}}\bra{j_1\cdots j_{n+1}}
\tag{3}
\end{align*}
$$
故に、(1) と (3) より帰納法によって (2) が一般の $n$ に対して成立することが分かった。
