適当なベクトル空間 $V$ を考える時、$V \otimes V$ は、$v_1, v_2 \in V$ に対して、$V \simeq (V^*)^*$ と見て
\begin{align*}
(v_1 \otimes v_2)(\psi, \phi) = v_1(\psi) v_2(\phi),\ \psi, \phi \in V^*
\end{align*}
と定義される。$V$ が Hilbert 空間の場合には、内積を $\langle\cdot|\cdot\rangle$ として $V \simeq V^*$ に注意して
\begin{align*}
(v_1 \otimes v_2)(\psi, \phi) = \langle v_1 | \psi\rangle \langle v_2 | \phi\rangle,\ \psi, \phi \in V
\end{align*}
という感じで定義されていた。勿論 $V = \R^2$ の時、これは Hilbert 空間でもあり、上記のどちらで考えても、テンソル代数と擬微分作用素の代数 - らんだむな記憶 の記号でいうと $L_k(V) \simeq L_k(V^*)$ として定義されている。
一方で クロネッカー積 - Wikipedia を見ると、$\C^2 \otimes \C^2 \simeq \C^4$ としか読み取れず、即座に $L_2(\C^2)$ に読み替えることができず、難しい。Kronecker 積を上記のようなテンソル積と同等であることを自然に見るのはどうするのが良いのだろう・・・。
これについては、Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels の p.407 Example I が該当するように思われる。この辺の数ページを再度読み直して納得するのが良いだろうか。
Wikipedia も Kronecker product - Wikipedia のほうが計算が詳しそうだ。
Tensors for Beginners 13: Tensor Product vs Kronecker Product - YouTube にも動画がありそうだし、これを見てみるのもいいのかな？
