Def
$G$ が可解群であるとは、フィルトレーション $G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_{r-1} \supset G_r = \{e\}$ を持ち、これが $G_{i-1} \triangleright G_i$ を満たし、 $G_{i-1}/G_i$ がAbel群になる時を言う${}_\square$
例
(1)$S_3$ は可解群である。
→ $S_3 \supset A_3 \supset \{e\}$ なるフィルトレーションにおいて、 $\#(S_3/A_3) = \# \{e,\overline{(1\ 2)}\} = 2$ より、 $S_3/A_3$ は位数2の巡回群である。また $\#(A_3) = 3$ よりこれも位数3の巡回群である。
(2)$S_4$ は可解群である。
→ $S_4 \supset A_4 \supset K \supset \{e\}$ というフィルトレーションを持つ。
$\#K = 4$ であって、具体的には以下のような部分群である。
$K=\{\text{double transpositions}\} = \{e,(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)\}$
