$\zeta_n := \exp(2\pi i/n)$ と置く。 $L = \Q(\zeta_n)$ とすると、 $L/\Q$ はガロア拡大であり、 $\mathrm{Gal}(L/\Q) \simeq (\Z/n\Z)^\times$ であった。(Galois理論(57)―円分多項式の既約性と円分拡大 - らんだむな記憶)
例
$n = 8$ の場合。 $(\Z/8\Z)^\times = \{1,3,5,7\}$ であり、 $\#( (\Z/8\Z)^\times) = 4$ である。これに対応するガロア群を $\mathrm{Gal}(L/\Q) =\{id, \sigma_3, \sigma_5, \sigma_7\}$ とする。
Galois理論(47)―ガロア対応 - らんだむな記憶によると、部分拡大とガロア群の部分群は1対1に対応するのであった。ガロア群は巡回群であるのでその部分群も巡回群であり、特に新部分群は $\langle \sigma_3 \rangle,\ \langle \sigma_5 \rangle,\ \langle \sigma_7 \rangle$ である。真部分群の位数はすべて2であり、従って部分体の拡大次数も2である。
●部分拡大 $\Q \subset F \subset \Q(\zeta_8)$
$F_1 = L^{\langle \sigma_7 \rangle}$ が1つの真部分拡大である。
$\sigma_7(\zeta_8) = \exp(7\pi i/4) = - \exp(\pi i/4) = \bar{\zeta}_8$ であるので、$\sigma_7$ は複素共役である。複素共役での不変体ということで、 $F_1 = \Q(\zeta_8) \cap \R = \Q(\zeta_8 + \bar{\zeta}_8) = \Q(\sqrt{2})$ である。
$F_2 = L^{\langle \sigma_3 \rangle} = \Q(\zeta_8 + \zeta_8^3) = \Q(i \sqrt{2})$
$F_3 = L^{\langle \sigma_5 \rangle} = \Q(\zeta_8 \cdot \zeta_8^5) = \Q(i)$
が残り2つの真部分体である。
例
$n = 5$ の場合。 $(\Z/5\Z)^\times = \{1,2,3,4\}$ であり、 $\#( (\Z/5\Z)^\times) = 4$ である。これに対応するガロア群を $\mathrm{Gal}(L/\Q) =\{id, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4\}$ とする。
$\mathrm{Gal}(L/\Q)$ の真部分群は $\langle \sigma_4 \rangle$ である。この位数は2であり、従って部分体の拡大次数も2である。
●部分拡大 $\Q \subset F \subset \Q(\zeta_5)$
$F_1 = L^{\langle \sigma_4 \rangle}$ が唯1つの真部分拡大である。
$\sigma_4(\zeta_5) = \exp(8\pi i/5) = - \exp(2\pi i/5) = \bar{\zeta}_5$ であるので、$\sigma_4$ は複素共役である。複素共役での不変体ということで、 $F_1 = \Q(\zeta_5) \cap \R = \Q(\zeta_5 + \bar{\zeta}_5) = \Q(\cos(2\pi/5) )$ である。
