テンソル空間

$V = \mathbb{R}^2$ に対して、テンソル積 $V \otimes V$ を考える。 $V$ の基底を $e_1,\ e_2$ とする。
線型写像 $\varphi: V \otimes V \to \mathrm{Mat}(2,\mathbb{R}^2)$ を $\varphi(e_i \otimes e_j) = (a_{pq}),\ a_{pq} = \begin{cases} 1,\ (p,q) = (i,j) \\ 0,\ (p,q) \neq (i,j) \end{cases}$ となるようにとるとこれは同型写像になるので、 $V \otimes V \simeq \mathrm{Mat}(2,\mathbb{R}^2)$ である。

つまり、 $\varphi(\sum_{1\leq i,j \leq 2}a_{ij}\, e_i \otimes e_j) = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$ である。

この考えにより、多次元リストがなすベクトル空間は、数ベクトル空間から多重線型写像により構築されるテンソル空間と同型であることが示される。