函数空間
\begin{equation}
H^1[0,1] = \left\{\, f \in L^2[0,1] \,\big|\,\, f \text{: absolutely continuous},\ f^\prime \in L^2[0,1] \right\}
\end{equation}
上の3つのノルムを考える。まず最初に
\begin{equation}
\|\,f\| = \left( \int_0^1 |\, f(t)|^2 dt + \int_0^1 |\, f^\prime(t)|^2 dt \right)^{1/2}
\end{equation}
と、
\begin{align}\vertiii{\,f} &= \left( |\,f(0)|^2 + |\,f(1)|^2 + \int_0^1 |\, f^\prime(t)|^2 dt \right)^{1/2} \\ &= \text{“} \left( \int_{\partial [0,1]} |f(t)|^2 d \sigma + \int_0^1 |\, f^\prime(t)|^2 dt \right)^{1/2} \text{”} \end{align}
の2つのノルムを入れる。いずれのノルムによっても $H^1[0,1]$ は Hilbert 空間になる。(後者についてはカーネル法入門―正定値カーネルによるデータ解析 (シリーズ 多変量データの統計科学) 2.2.3のノルムに右側の境界値を加えた。たぶん加えたほうが境界上の Hilbert 空間のノルムになって良いはず・・・)
Equivalent norms on Sobolev space $H^1$ for bounded Lipschitz domains - Mathematics Stack Exchangeの感じではこの2つのノルムは同値なノルムになっているような感じではあるが・・・。これを検証したい。
$f \in H^1[0,1]$ に対して“トレース作用素の連続性”により、(*1)
\begin{equation}
|\,f(0)|^2 + |\,f(1)|^2 \le C_1^2 \|\,f\|^2
\end{equation}
が従う。よって
\begin{equation}
\vertiii{\,f} \le (C_1 + 1) \|\,f\| \quad\quad\quad (1)
\end{equation}
を得る。
次に逆の評価を見る。 $f(0) = f(1) = 0$ であれば Poincaré の不等式により
\begin{equation}
\int_0^1 |\, f(t)|^2 dt \le C_2^2 \int_0^1 |\, f^\prime(t)|^2 dt \quad\quad\quad (2)
\end{equation}
が従う。よって $f \in H_0^1[0,1]$ をとると
\begin{equation}
\|\,f\| \le (C_2 + 1) \vertiii{\,f}
\end{equation}
を得る。
故に、 $H_0^1[0,1]$ においては、上記の2つのノルムは同値となる。
$H^1[0,1]$ の場合について見たい。Equivalent norms on Sobolev space $H^1$ for bounded Lipschitz domains - Mathematics Stack Exchangeを参考にする。
[1611.04249] On Orthogonal Decomposition of a Sobolev Spaceによると
\begin{equation}
H^1[0,1] = H_0^1[0,1] \oplus H_0^1[0,1]^\perp
\end{equation}
である。ここで
\begin{equation}
H_0^1[0,1]^\perp = \mathrm{span}\langle e^t, e^{-t} \rangle
\end{equation}
となっている。
$f_\perp(t) = \alpha e^t + \beta e^{-t} \in H_0^1[0,1]^\perp $ を考える時、
\begin{equation}
\int_0^1 |\,f_\perp(t)|^2 dt \le \frac{|\alpha|^2}{2}(e - 1) + 2 |\alpha| |\beta| + \frac{|\beta|^2}{2}\left(1 - \frac{1}{e}\right)
\end{equation}
となる。 $\alpha = \frac{e^{-1} f_\perp(0) - f_\perp(1)}{e^{-1} - e},\ \beta = \frac{ e f_\perp(0) + f_\perp(1)}{e^{-1} - e}$ であるので
\begin{equation}
\int_0^1 |\,f_\perp(t)|^2 dt \le C_3^2 (|\,f_\perp(0)|^2 + |\,f_\perp(1)|^2)
\end{equation}
を得る。このことから
\begin{equation}
\|\,f_\perp\| \le C_3 \vertiii{\,f_\perp} \quad\quad\quad (3)
\end{equation}
が従う。
よって、(2)と(3)より一般の $f \in H^1[0,1]$ に対しては、 $f = f_0 + f_\perp,\quad f_0 \in H_0^1[0,1],\ f_\perp \in H_0^1[0,1]^\perp$ と直和分解して評価することで
\begin{equation}
\|\,f\| \le C_4 \vertiii{\,f}
\end{equation}
を得る。
故に、(1)の評価と併せて $H^1[0,1]$ においても、上記の2つのノルムは同値となる。
最後にカーネル法入門―正定値カーネルによるデータ解析 (シリーズ 多変量データの統計科学) 2.2.3のノルム
\begin{equation}
\bracevert\, f \bracevert = \left( |\,f(0)|^2 + \int_0^1 |\, f^\prime(t)|^2 dt \right)^{1/2}
\end{equation}
も上記らと同値であることを見る。
まず定義より $f \in H^1[0,1]$ をとると
\begin{equation}
\bracevert\, f \bracevert \le \vertiii{\, f}
\end{equation}
が成立する。逆については、 $f$ の絶対連続性より
\begin{equation}
f(1) = f(0) + \int_0^1 f^\prime (t) dt
\end{equation}
が従う。よって、 Schwarz の不等式により
\begin{equation}
|\,f(1)| \le |\,f(0)| + \left(\int_0^1 |\,f^\prime (t)|^2 dt \right)^{1/2} \left(\int_0^1 1^2 dt \right)^{1/2} = |\,f(0)| + \left(\int_0^1 |\,f^\prime (t)|^2 dt \right)^{1/2}
\end{equation}
を得る。非負の実数に対する不等式 $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$ を考慮すると、
\begin{equation}
|\,f(1)|^2 \le 2 \left(|\,f(0)|^2 + \int_0^1 |\,f^\prime (t)|^2 dt \right) = 2 \bracevert\, f \bracevert^2
\end{equation}
となる。故に
\begin{equation}
\vertiii{\,f}^2 = |\,f(1)|^2 + \bracevert\, f \bracevert^2 \le 3 \bracevert\, f \bracevert^2
\end{equation}
であるので、主張を得た。
ノーチェックの部分もあるのがやや不安ではあるが・・・。
(*1) “トレース作用素”というよりは、 $f \in H^1(\mathbb{R})$ に対する Sobolev の不等式
\begin{equation}
\mathrm{sup} |\, f(t)| \le C \|\, f\|
\end{equation}
として導いたほうが良さそうだ。これについては以下が相当すると思う。
http://www.math.tamu.edu/~fnarc/psfiles/sobolev_thm.pdf
この他、 $H^1(\mathbb{R})$ の場合や $H_0^1[0,1]$ の場合には $f(x) = \int^x f^\prime(t)dt$ によりもっと簡単に示せるようだ:
