$\mathrm{Mat}(2,\mathbb{C})$ の行列
\begin{equation}
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation}
について考えてみる。これは正値行列だ。固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 3$ で、対応する固有ベクトルは正規化した状態で $e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)^T$ と $e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^T$ である。 $e_1$ と $e_2$ は直交し、 $\mathbb{C}^2$ の完全正規直交系をなすことにも注意する。
\begin{equation}
U = (e1, e2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
とおくと、これはユニタリ行列になっており、
\begin{equation}
\Lambda = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1& 0 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\end{equation}
とあわせて $A = U \Lambda U^*$ と対角化される。
$\lambda_1$ に対応する固有空間への射影を $P_1$ とし $\lambda_2$ に対応する固有空間への射影を $P_2$ とすると、任意の $x \in \mathbb{C}^2$ に対して $P_1 x = \langle x, e_1 \rangle e_1$ と $P_2 x = \langle x, e_2 \rangle e_2$ とあらわされる。
ここで、以下を示したい。
補題 任意の $x \in \mathbb{C}^2$ に対して
\begin{equation}
U^* x = \begin{pmatrix}
\langle x, e_1 \rangle \\
\langle x, e_2 \rangle
\end{pmatrix}
\end{equation}
が成立する ${}_\blacksquare$
証明は、任意の $x$ に対して
\begin{equation}
U \begin{pmatrix}
\langle x, e_1 \rangle \\
\langle x, e_2 \rangle
\end{pmatrix} = (e1, e2) \begin{pmatrix}
\langle x, e_1 \rangle \\
\langle x, e_2 \rangle
\end{pmatrix}
= \langle x, e_1 \rangle e_1 + \langle x, e_2 \rangle e_2 = x
\end{equation}
が成立することと $U$ のユニタリ性により $U^* U = I$ が成立することによる。
従って、 $A$ の対角化の式は
\begin{eqnarray*}
Ax = U \Lambda U^* x
&=& (e_1, e_2) \Lambda \begin{pmatrix}
\langle x, e_1 \rangle \\
\langle x, e_2 \rangle
\end{pmatrix} \\
&=& (e_1, e_2) \begin{pmatrix}
\lambda_1 \langle x, e_1 \rangle \\
\lambda_2 \langle x, e_2 \rangle
\end{pmatrix}
= \lambda_1 \langle x, e_1 \rangle e_1 + \lambda_2 \langle x, e_2 \rangle e_2
= \lambda_1 P_1 x + \lambda_2 P_2 x
\end{eqnarray*}
と書き換えることができる。よって $A = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2$ と書くことができる。これが $A$ のスペクトル分解である。具体的な値で計算したほうが自分にも分かりやすいのでそうしたが、実際には任意のエルミート行列で同様の主張ができる。
