確率測度のFourier変換 - らんだむな記憶の続き。
前回の最後で
\begin{align}
\mu(a, b) \approx \frac{1}{2\pi} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \mu (dx) \int_{\R^1} \exp(i \xi (x-\lambda)) d\xi \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (1)
\end{align}
と
\begin{align}
E(a, b) \approx \frac{1}{2\pi i} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} E(d\eta) \left( \frac{1}{\eta - \lambda - i0} - \frac{1}{\eta - \lambda + i0} \right) \quad\quad\quad (2)
\end{align}
のギャップを埋めたいという課題を残していた。ここでは具体的に
\begin{align}
\frac{1}{2\pi} \int_{\R^1} \exp(i \xi (x-\lambda)) d\xi
\end{align}
と
\begin{align}
\frac{1}{2\pi i} \left( \frac{1}{\eta - \lambda - i0} - \frac{1}{\eta - \lambda + i0} \right)
\end{align}
が概念的に近いのではないか？という考察を行う (結論としてはこれらはデルタ函数である)。前回もそうであったように、積分の順序交換, 積分と極限の交換, 超函数的な取り扱いについては形式的かつおおらかに行うものとする。
Schwartz 超函数における Delta 函数
普通の Fourier 変換を
\begin{align}
\hat{u}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R^1} \exp (-i \xi x) u(x) dx
\end{align}
で導入し、超函数 $u \in \mathscr{S}^\prime(\R^1)$ と急減少函数 $\varphi \in \mathscr{S}(\R^1)$ に対して Fourier 変換を
\begin{align}
\la u, \F \varphi \ra = \la \F u, \varphi \ra
\end{align}
で導入する。 $\la \F \delta, \varphi \ra = \la \delta, \F \varphi \ra = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R^1} \exp (-i 0 x) \varphi(x) dx = \la \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathbb{1}, \varphi \ra$ であることから $\F \delta = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathbb{1}$ である。同様に逆 Fourier 変換についても $\F^{-1} \delta = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathbb{1}$ であり、両辺の Fourier 変換をとって $\F \mathbb{1} = \F^{-1} \mathbb{1} = \sqrt{2\pi} \delta$ を得る${}_\square$
このことを用いると、
\begin{align}
\frac{1}{2\pi} \int_{\R^1} \exp(i \xi (x-\lambda)) d\xi = \delta (x -\lambda)
\end{align}
という形式的な積分を得る。
佐藤超函数における Delta 函数
[6] pp.3-4 を参考にする。
$\varphi$ を今度は $\C$ 上の正則 (解析) 函数とする。この時、Cauchy の積分公式により原点を含むような反時計回りの経路 $\gamma$ に対して
\begin{align}
\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{\varphi(z)}{z} dz = \varphi(0)
\end{align}
が成立する。これにより経路を $[a,b]$ の周りを囲むような厚み 0 の経路とすると
\begin{align}
\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{\varphi(z)}{z} dz &= \frac{1}{2\pi i} \int_{b+i0}^{a+i0} \frac{\varphi(x)}{x} dx + \frac{1}{2\pi i} \int_{a-i0}^{b-i0} \frac{\varphi(x)}{x} dx \\
&= \int_a^b \left( - \frac{1}{2\pi i} \right) \left( \frac{1}{x+i0} - \frac{1}{x-i0} \right) \varphi(x) dx
\end{align}
を得る。このことから形式的に
\begin{align}
\delta (x) = - \frac{1}{2\pi i} \left( \frac{1}{x+i0} - \frac{1}{x-i0} \right)
\end{align}
を得る${}_\square$
これらの結果をそれぞれ (1) と (2) に代入すると形式的には、
\begin{align}
\mu(a, b) \approx \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \delta(x-\lambda) \mu (dx) \quad\quad\quad (1)^\prime
\end{align}
および
\begin{align}
E(a, b) \approx \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \delta(\eta - \lambda) E(d\eta) \quad\quad\quad (2)^\prime
\end{align}
となる。
ここでこれらの形式的な計算についてどれくらい意味があるのかという疑問があるのだが、(1)' について確率密度函数を $f$ とする時 $\mu(dx) = f(x) dx$ となるので、右辺に代入して (またもや形式的に) 計算すると
\begin{align}
\int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \delta(x-\lambda) \mu (dx) = \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \delta(x-\lambda) f(x) dx = \int_a^b f(\lambda) d\lambda = \mu (a,b)
\end{align}
として左辺が出てきて辻褄が合う。よってこの形式な計算も一応は正当化されるように思う。
(1)' と (2)' を見比べるとこれらはまったく同じ形をしており、デルタ函数により密度函数の各点の値が取り出され、長さを測りたい区間上で積分がとられ測度が得られるという構図になっている。そういうわけで、Lévy の反転公式と Stone の公式は本質的にはこのような背景の構造を通じて片方は確率測度、他方はスペクトル測度に対してまったく同じことを主張しているのではないかという小話。
