$X_1 \subset \mathbb{R}^{d_1},\ X_2 \subset \mathbb{R}^{d_2}$ として、連続写像 $\mathscr{K}:C_\mathrm{c}^\infty(X_1) \to \mathcal{D}^\prime(X_2)$ があるとする。
\begin{equation}
\langle \mathscr{K} \phi,\ \psi \rangle,\quad \phi \in C_\mathrm{c}^\infty(X_1),\ \psi \in C_\mathrm{c}^\infty(X_2)
\end{equation}
なる双線型形式を考える。この時、 $\psi$ を固定すると $\phi \mapsto \langle \mathscr{K} \phi,\ \psi \rangle \in \mathcal{D}^\prime(X_1)$ だなと。
少し記号を設定すると、
\begin{equation}
T_\psi(\phi)= \langle \mathscr{K} \phi,\ \psi \rangle
\end{equation}
と置いた時に、 $T_\psi(\phi) \in \mathcal{D}^\prime(X_1)$ であるねと。
