確率測度の “Fourier 変換” を特性函数と呼ぶ。([1] p.87, [2] p.38, [3] p.21)
特性函数
簡単のため、 $\R^1$ のケースのみ考える。確率空間 $(\R^1, \mathcal{B}(\R^1), \mu)$ を考える時、
\begin{align}
\varphi(\xi) = \int_{\R^1} \exp(i \xi x) \mu (dx)
\end{align}
を $\mu$ の特性函数と呼ぶ${}_\square$
これに対し “逆 Fourier 変換” に対応する公式が以下になる。
Lévy の反転公式
$\mu(\{a\}) = \mu(\{b\}) = 0$ とする時
\begin{align}
\mu(a, b) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \frac{\exp(-i a \xi) - \exp(-i b \xi)}{i \xi} \varphi(\xi) \,d\xi
\end{align}
が成立する${}_\square$
この公式はたぶん全然関係ないのだが以下に似ているような気持ちになる。([4] p.17, [5] p.237)
Stone の公式
$\mathcal{H}$ を Hilbert 空間とし、 $A$ を $\mathcal{H}$ の自己共役作用素とする。 $E$ を $A$ のスペクトル測度とする時、 $a,\ b$ が $A$ の固有値ではない場合
\begin{align}
E(a, b) = \mathrm{s-}\!\lim_{\!\!\!\!\!\varepsilon \downarrow 0} \frac{1}{2\pi i} \int_a^b \left( (A - \lambda - i \varepsilon)^{-1} - (A - \lambda + i \varepsilon)^{-1} \right) d\lambda
\end{align}
が成立する${}_\square$
ついでにレゾルベントの表示として
\begin{align}
(A - \lambda \pm i\varepsilon)^{-1} = \int_{\R^1} \frac{1}{\eta - \lambda \pm i\varepsilon} E(d\eta)
\end{align}
が成立することに注意する。
何と言うわけでもないが、“特異点” を撫でるように積分することで測度の情報が出てくるのが面白い。このケースで強引にスペクトル測度の Fourier 変換を考えると
\begin{align}
\exp(i \xi A) = \int_{\R^1} \exp(i \xi \lambda) E (d\lambda)
\end{align}
なるユニタリ作用素になるであろうか？次に Lévy の反転公式を少し書き換えてみよう。
\begin{align}
\frac{\exp(-i a \xi) - \exp(-i b \xi)}{i \xi} = \int_a^b \exp(-i \xi \lambda) d\lambda
\end{align}
に注意して、素朴な積分や極限の順序交換をすると
\begin{align}
\mu(a, b) &\approx \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_a^b d\lambda \int_{-T}^T \exp(-i \xi \lambda) \varphi(\xi) \,d\xi \\
&\approx \frac{1}{2\pi} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \exp(-i \xi \lambda) \varphi(\xi) \,d\xi \\
&\approx \frac{1}{2\pi} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} d\xi \int_{\R^1} \exp(-i \xi \lambda) \exp(i \xi x) \mu (dx) \\
&\approx \frac{1}{2\pi} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} \mu (dx) \int_{\R^1} \exp(i \xi (x-\lambda)) d\xi
\end{align}
などという謎の式がでる。ここで Stone の公式にレゾルベントの積分表示を放り込んで極限操作を積分と無理やり交換すると
\begin{align}
E(a, b) &= \mathrm{s-}\!\lim_{\!\!\!\!\!\varepsilon \downarrow 0} \frac{1}{2\pi i} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} E(d\eta) \left( \frac{1}{\eta - \lambda - i\varepsilon} - \frac{1}{\eta - \lambda + i\varepsilon} \right) \\
&\approx \frac{1}{2\pi i} \int_a^b d\lambda \int_{\R^1} E(d\eta) \left( \frac{1}{\eta - \lambda - i0} - \frac{1}{\eta - \lambda + i0} \right)
\end{align}
となって両者は何か似ているな感じてしまう。あとは佐藤超函数みたいな感じでうまくギャップを埋められないかな？と思ってしまうがこの辺は完全な与太話である。(→ 後続の記事でギャップを埋めることができた)
