さて、無限次元ベクトル空間に思いを馳せてみよう。今度はM. Reed-B. Simonの「Method of modern mathematical physics - Functional Analysis」を参照しよう。
一般のBanach空間においてはSchauder basis - Wikipedia, the free encyclopediaが考えられるが、Per Enflo によって可分なBanach空間でもSchauder基底を持たない例が構成されているようだ。*1
一方でHilbert空間の場合には完全正規直交基底がSchauder基底になる。
さて、 $\mathscr{H}_1, \mathscr{H}_2$ を複素Hilbert空間としよう。
$\varphi_1 \in \mathscr{H}_1,\ \varphi_2 \in \mathscr{H}_2$ に対して、
\begin{array}.
\varphi_1 \otimes \varphi_2: &\mathscr{H}_1 \times \mathscr{H}_2 &\to &\C \\
&(\psi_1, \psi_2) &\mapsto &(\varphi_1 \,|\, \psi_1)(\varphi_2 \,|\, \psi_2)
\end{array}
なる有界双線型写像を考える。このような $\varphi_1 \otimes \varphi_2$ の有限線型全体のなす空間を $\mathscr{E}$ と書く。
$\mathscr{E}$ には内積
\begin{equation}
(\varphi_1 \otimes \varphi_2 \,|\, \mu \otimes \nu) : = (\varphi_1 \,|\, \mu)(\varphi_2 \,|\, \nu)
\end{equation}
を導入する。
更にこの内積について $\mathscr{E}$ を完備化したものを $\mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$ と書いて $\mathscr{H}_1, \mathscr{H}_2$ のテンソル積と呼ぶ。
有限次元のベクトル空間の場合と異なり、こちらでは陽には双対空間が登場していない。それは Riesz の表現定理によって、双対空間の元、つまり有界線型汎函数がHilbert空間の元との内積に置き換えられるからである。上記で内積を使っている部分は有界線型汎函数と思うことができる。
さて、 $\mathscr{H}_1$ の完全正規直交系を $\{\phi_k\}$ とし、 $\mathscr{H}_2$ の完全正規直交系を $\{\psi_\ell\}$ とする時、 $\{ \phi_k \otimes \psi_\ell \}$ は $\mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$ の完全正規直交系になることが示される。
\begin{array}.
\varphi: &\mathscr{H}_1 \times \mathscr{H}_2 &\to &\mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2 \\
&\ (\phi_k, \psi_\ell) &\mapsto &\ \phi_k \otimes \psi_\ell
\end{array}
と定める。 $\varphi$ は既に有界双線型写像になっている。
さて、 $\mathscr{K}$ を Hilbert空間とし、 $f: \mathscr{H}_1 \times \mathscr{H}_2 \to \mathscr{K}$ を 有界双線型写像とする。
\begin{array}.
\tilde{f}: &\mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2 &\to &\mathscr{K} \\
&\ \phi_k \otimes \psi_\ell &\mapsto &f(\phi_k, \psi_\ell)
\end{array}
とおくと、明らかに $\tilde{f} \circ \varphi = f$ である。 $\{ \phi_k \otimes \psi_\ell \}$ は $\mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$ の完全正規直交系になることから、このような $\tilde{f}$ も一意であることが分かる。
よって、この場合も抽象代数学で構築したテンソル積と一致する。
なお、馴染みのある例としては、 $L^2(M_1, d\mu_1) \otimes L^2(M_2, d\mu_2) \simeq L^2(M_1 \times M_2, d\mu_1 \otimes d\mu2)$ がある。
$A$-加群の例では古い2つの $A$-加群から新しい $A$-加群が得られた。有限次元ベクトル空間の例では古い2つの有限次元ベクトル空間から新しい有限次元ベクトル空間が得られた。そしてこのHilbert空間の例では古い2つのHilbert空間から新しいHilbert空間が得られた。少しだけ他のサンプルを見てテンソル積は終わろう...。
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Hilbert空間 $\mathscr{H}$ に対して、その $k$-次のテンソル積を構成し、0次以上のテンソル積の無限直和をとったものを Fock 空間と呼ぶ。 $L^2(\R^n)$ において変数の置換に対して不変な函数を寄せ集めて作った部分空間を使って作った Fock 空間は Boson Fock 空間と呼ぶようだ。勿論 Fermion Fock 空間もある。
どう見ても「場の量子論」です、ありがとうございます。という気分で場の量子論は知らない。繰り込み...。
他にも、Dirac 作用素を考える場合に、 $L^2(\R^3,\C^4) \simeq L^2(\R_+; r^2 dr) \otimes L^2(S^2,\C^4)$ の同一視により作用素を動径方向成分と角度成分とに分けて解析するように思われる。この辺は例えば A. A. Balinsky-W. D. Evans の「Spectral analysis of relativistic operators」で触れられている。どうでも良いが本のタイトルのフォントが Garamond 系のような気がするも特定できず...。
Cycon-Froese-Kirsch-Simon 本でも§3.2くらいではさくっとテンソル積が持ち出される。
