函数解析の3大原理の1つに「開写像定理 (Open mapping theorem)」というのがあるので、そのメモを残してみたい。
定理(開写像定理)
$\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y}$をBanach空間とする。$T \in \mathscr{L}(\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y})$を$R(T) = \mathfrak{Y}$を満たすような連続線型作用素とする。
この時、$T$は開写像($A$が$\mathfrak{X}$の開集合なら$T(A)$は$\mathfrak{Y}$の開集合)である。${}_\square$
Baireのカテゴリー定理というやつによって示される。この系として逆写像定理(というかよく「値域定理」と呼ばれているが、この名前はしっくり来ないな...)
定理(逆写像定理)
$\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y}$をBanach空間とする。$T \in \mathscr{L}(\mathfrak{X},\ \mathfrak{Y})$を全単射な連続線型作用素とする。この時、$T$は連続な逆作用素$T^{-1} \in \mathscr{L}(\mathfrak{Y},\ \mathfrak{X})$を持つ。${}_\square$
全単射なので代数的に逆写像が考えられるけど、開写像定理により、$T^{-1}$による開写像の逆像(即ち$T$による像)が開集合なので$T^{-1}$が連続だというものだ。
さて、現役の頃は何も気にしなかったが、開写像定理の「$R(T) = \mathfrak{Y}$を満たす」という条件は何だ？という疑問がある。
具体例を見よう。仮定を落とした場合の簡単な反例を作る。
絵でイメージしやすいように、$T:\ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$を考えることにし、具体的に$T(x,y,z)=(x,y,0)$というxy平面への射影を考える。すると、3次元空間の開球が2次元の開円板になることが見える。2次元の開円板は$\mathbb{R}^3$の開集合ではないので、これで反例ができた。何故なら、$\mathbb{R}^3$の開集合なら、各点でそれを中心とする微小の3次元開球を含まないとならないからだ。開円板ではz軸方向に潰れているので、どんな微小の半径であろうと3次元開球を含むことはできない。
$T$は線型空間の準同型写像なので、線型構造を像空間に写すが、像空間全域に写らないということは、値域が像空間より低い自由度となり、欠損した自由度の方向に潰れてしまうと考えられる。潰れてしまうと像空間の位相での "開球" を詰めるスペースがなくなって、$T$による開球の像は開集合になり得ないということか。こういう話はまっとうな基底を入れないとしっくりこない部分があり、Banach空間の基底とは？(代数的な基底とか、Schauder基底とか...)存在するのか？という問題が出てくるが雰囲気でとらえたいので気にしない。
なんかしらの反例を構成したり、ざっくりイメージでとらえることは重要だと思うが、現役の頃は全然気にしなかったなぁ...。正直、定理ごとに仮定を幾つか落として反例を構成するという練習問題を課せば相当な力になるだろう。その仮定が以下のいずれなのかが薄ら見えてくる。
