以下のような問題を考える。
Lemma1
$\{x_n\}_{n=1}^\infty$ を実数列とし、ある実数列 $\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty$ と $0 < r < 1$に対し、
\begin{align*}
x_{n+1} = r x_n + \varepsilon_n
\end{align*}
という関係があるとする。ここで $\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty$ はある正の数 $\epsilon$ によって一様に $|\varepsilon_n| < \varepsilon,\ (n=1,2,\cdots)$ という評価ができるものとする。この時、ある自然数 $N$ がとれて $n > N$ で $|x_n| < \frac{4}{(1-r)^2} \varepsilon$ が成立する。
これを証明する前に簡単な別の問題を考える。$\varepsilon_n \equiv \varepsilon$ という定数の場合である。この時、$x_{n+1} = r x_n + \varepsilon$ となるが、これは簡単に解くことができる: $x_{n+1} - \frac{\varepsilon}{1-r} = r (x_{n} - \frac{\varepsilon}{1-r})$ と変形することで、$x_{n} - \frac{\varepsilon}{1-r} = (x_{1} - \frac{\varepsilon}{1-r}) r^{n-1}$ となる。特に、十分に大きい $n$ に対して $|x_n| < \frac{4}{(1-r)^2} \varepsilon$ が成立する。
これを踏まえつつ補題を証明しよう。なお、ここで示したいことは、$\frac{4}{(1-r)^2}$ の細かい値などではなく、$|x_n|$ が $\varepsilon$ の定数倍程度の大きさで抑えられるということである。
proof
与式より $x_{n+1} - \frac{\varepsilon_n}{1-r} = r (x_{n} - \frac{\varepsilon_n}{1-r})$ が任意の $n$ に対して成立する。$y_n = x_{n} - \frac{\varepsilon_{n-1}}{1-r}$ とおくと、$y_{n+1}= r \left( y_n + \frac{\varepsilon_{n-1} - \varepsilon_{n}}{1-r} \right)$ という関係が成立することに注意する。これを繰り返し使うと、
\begin{align*}
y_{n+1} &= r \left( y_n + \frac{\varepsilon_{n-1} - \varepsilon_{n}}{1-r} \right) \\
&= r^2 \left(y_{n-1} + \frac{\varepsilon_{n-2} - \varepsilon_{n-1}}{1-r} \right) + \frac{r (\varepsilon_{n-1} - \varepsilon_{n})}{1-r} \\
&= \cdots \\
& = r^{n-1} y_2 + \frac{1}{1-r} \sum_{j=1}^{n-1} r^j (\varepsilon_{n-j} - \varepsilon_{n-j+1})
\end{align*}
を得る。$|\varepsilon_{n-j} - \varepsilon_{n-j+1}| < 2 \varepsilon$ なので、右辺第 2 項は任意の $n$ に対して $\frac{2}{(1-r)^2} \varepsilon$ で抑えることができる。また、右辺第 1 項は $n$ が十分に大きい時幾らでも小さくできるので、特に $\frac{1}{(1-r)^2} \varepsilon$ より小さくなる。${}_\blacksquare$
また、特に、$\varepsilon_n \to 0\ (n \to \infty)$ の場合には、$n$ を大きくすることで $\varepsilon$ を幾らでも小さくできることから、$n$ を大きくとると $|x_n|$ は任意の小さな数で抑えられる。つまり、$x_n \to 0\ (n \to \infty)$ が得られる。つまり:
Lemma2
Lemma1 で $\varepsilon_n \to 0\ (n \to \infty)$ が成立するとする。この時、$n \to \infty$ で $x_n \to 0$ が従う。
