ぼんやりと見ていると
$$
\begin{align*}
\int \sin x \cos x dx
\end{align*}
$$
というネタがあった。曰く $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、
$$
\begin{align}
\int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x dx = - \frac{1}{4} \cos 2x + C
\tag{1}
\end{align}
$$
とのことである。なるほど。しかし、$\frac{d \sin x}{dx} = \cos x$ でもあるので、
$$
\begin{align}
\int \sin x \cos x dx = \int \sin x \frac{d \sin x}{dx} dx= \int \sin x\ d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C
\tag{2}
\end{align}
$$
という方法を皆が使っているというのだ。なるほどなるほど。(2) を続けて計算するとして、定数の加減は $C$ にすべて吸収させると、
$$
\begin{align}
\frac{1}{2} \sin^2 x + C &= - \frac{(1 - \sin^2 x) - \sin^2 x}{4} + C \\
&= - \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{4} + C = - \frac{\cos 2x}{4} + C
\end{align}
$$
で (1) になる。なかなか興味深い。確かに定石としては (1) を高校で習った気がするので、敢えて不定積分を求めよと言われれば (1) のアプローチを使うかもしれないが、(2) もなかなか興味深い。なるほど、大して考えたこともないが、このような脊髄反射で処理してしまうような計算にも色々な解法があるものだ。逆に、同じ手法を使いすぎて「この方法で解くのが定石である」と高校のうちに思い込んだのも、少し頭がかたかったかもしれないな。
