twitter からネタを拾ったので。
$f: \R \to \R$ なる函数があるとして、$\forall x,y \in \R$ に対して $f(x+y) = f(x) + f(y)$ が成立し、かつ原点で連続なら全体で連続か、と。
$f(0) = f(0) + f(0)$ より $f(0) = 0$ なので、任意の $x \in \R$ と小さな数 $\varepsilon$ に対して
\begin{align*}
\frac{f(x + \varepsilon) - f(x)}{\varepsilon} = \frac{f(\varepsilon) - f(0)}{\varepsilon}
\end{align*}
・・・じゃなくて、
\begin{align*}
f(x + \varepsilon) - f(x) = f(\varepsilon) - f(0)
\end{align*}
なので、$\lim_{\varepsilon \to 0} f(x + \varepsilon) = f(x)$ ってことでいいのかな？勢いで間違えて書いた式から、原点で連続かつ微分可能なら $\R$ 全体でも連続かつ微分可能とか言えちゃうな。実質線型函数なので、原点での性質が別のところにも伝播しちゃうということで。
